Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Построение эпюр Q и М по уравнениям Построение эпюр Q и М по характерным сечениям (точкам) Расчёты на прочность при прямом изгибе балок Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок Понятие о центре изгиба Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия деформации балок и условия их жёсткости Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Метод непосредственного интегрирования Примеры определения перемещений в балках методом непосредственного интегрирования Физический смысл постоянных интегрирования Метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки). Примеры определения перемещений в балке по методу начальных параметров Определение перемещений по методу Мора. Правило А.К. Верещагина. Вычисление интеграла Мора по правилу А.К. Верещагина Примеры определения перемещений посредством интеграла Мора Библиографический список Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб. 1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Прямым изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. В частном случае, поперечная сила может быть равна нулю, тогда изгиб называется чистым. При плоском поперечном изгибе все силы расположены в одной из главных плоскостей инерции стержня и перпендикулярны его продольной оси, в той же плоскости расположены моменты (рис. 1.1, а,б). Рис. 1.1 Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила в сечении m-n балки (рис. 1.2, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, и отрицательной – в противоположном случае (рис. 1.2, б). Рис. 1.2 Вычисляя поперечную силу в данном сечении, внешние силы, лежащие слева от сечения, берут со знаком плюс, если они направлены вверх, и со знаком минус, если вниз. Для правой части балки – наоборот. 5 Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центральной оси z сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент в сечении m-n балки (рис. 1.3, а) считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по стрелке часов, а справа – против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном случае (рис. 1.3, б). Рис. 1.3 При вычислении изгибающего момента в данном сечении моменты внешних сил, лежащие слева от сечения, считаются положительными, если они направлены по ходу часовой стрелки. Для правой части балки – наоборот. Удобно определять знак изгибающего момента по характеру деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении отсечённая часть балки изгибается выпуклостью вниз, т. е. растягиваются нижние волокна. В противоположном случае изгибающий момент в сечении отрицательный. Между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью нагрузки q существуют дифференциальные зависимости. 1. Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки, т.е. . (1.1) 2. Первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе, т. е. . (1.2) 3. Вторая производная по абсциссе сечения равна интенсивности распределённой нагрузки, т. е. . (1.3) Распределенную нагрузку, направленную вверх, считаем положительной. Из дифференциальных зависимостей между М, Q, q вытекает ряд важных выводов: 1. Если на участке балки: а) поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает; б) поперечная сила отрицательна, то изгибающий момент убывает; в) поперечная сила равна нулю, то изгибающий момент имеет постоянное значение (чистый изгиб); 6 г) поперечная сила проходит через нуль, меняя знак с плюса на минус, max M M, в противоположном случае M Mmin. 2. Если на участке балки распределенная нагрузка отсутствует, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону. 3. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия нагрузки (в случае построения эпюры М со стороны растянутых волокон). 4. В сечении под сосредоточенной силой эпюра Q имеет скачок (на величину силы), эпюра М - излом в сторону действия силы. 5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента. На эпюре Q это не отражается. При сложном нагружении балки строят эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Эпюрой Q(M) называется график, показывающий закон изменения поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки. На основе анализа эпюр М и Q устанавливают опасные сечения балки. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх, а отрицательные – вниз от базисной линии, проводимой параллельно продольной оси балки. Положительные ординаты эпюры М откладываются вниз, а отрицательные – вверх, т. е. эпюра М строится со стороны растянутых волокон. Построение эпюр Q и М для балок следует начинать с определения опорных реакций. Для балки с одним защемленным и другим свободным концами построение эпюр Q и М можно начинать от свободного конца, не определяя реакций в заделке. 1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям Балка разбивается на участки, в пределах которых функции для изгибающего момента и поперечной силы остаются постоянными (не имеют разрывов). Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил, пар сил и места изменения интенсивности распределенной нагрузки. На каждом участке берется произвольное сечение на расстоянии х от начала координат, и для этого сечения составляются уравнения для Q и М. По этим уравнениям строятся эпюры Q и M. Пример 1.1 Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для заданной балки (рис. 1.4,а). Решение: 1. Определение реакций опор. Составляем уравнения равновесия: из которых получаем Реакции опор определены правильно. Балка имеет четыре участка Рис. 1.4 нагружения: СА, AD, DB, BE. 2. Построение эпюры Q. Участок СА. На участке СА 1проводим произвольное сечение 1-1 на расстоянии x1 от левого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 1-1: Знак минус взят потому, что сила, действующая слева от сечения, направлена вниз. Выражение для Q не зависит от переменной x1. Эпюра Q на этом участке изобразится прямой, параллельной оси абсцисс. Участок AD. На участке проводим произвольное сечение 2-2 на расстоянии x2 от левого конца балки. Определяем Q2 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 2-2: 8 Величина Q постоянна на участке (не зависит от переменной x2). Эпюра Q на участке представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Участок DB. На участке проводим произвольное сечение 3-3 на расстоянии x3 от правого конца балки. Определяем Q3 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 3-3: Полученное выражение есть уравнение наклонной прямой линии. Участок BE. На участке проводим сечение 4-4 на расстоянии x4 от правого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 4-4: 4 Здесь знак плюс взят потому, что равнодействующая нагрузка справа от сечения 4-4 направлена вниз. По полученным значениям строим эпюры Q (рис. 1.4, б). 3. Построение эпюры М. Участок м1. Определяем изгибающий момент в сечении 1-1 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 1-1. – уравнение прямой. Участок A 3Определяем изгибающий момент в сечении 2-2 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 2-2. – уравнение прямой. Участок DB 4Определяем изгибающий момент в сечении 3-3 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 3-3. – уравнение квадратной параболы. 9 Находим три значения на концах участка и в точке с координатой xk , где Участок BE 1Определяем изгибающий момент в сечении 4-4 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 4-4. – уравнение квадратной параболы находим три значения M4: По полученным значениям строим эпюру М (рис. 1.4, в). На участках CA и AD эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс, а на участках DB и BE – наклонными прямыми. В сечениях C, A и B на эпюре Q имеют место скачки на величину соответствующих сил, что служит проверкой правильности построения эпюры Q. На участках, где Q 0, моменты возрастают слева направо. На участках, гдеQ 0, моменты убывают. Под сосредоточенными силами имеются изломы в сторону действия сил. Под сосредоточенным моментом имеет место скачок на величину момента. Это указывает на правильность построения эпюры М. Пример 1.2 Построить эпюры Q и М для балки на двух опорах, нагруженной распределенной нагрузкой, интенсивность которой меняется по линейному закону (рис. 1.5, а). Решение Определение реакций опор. Равнодействующая распределенной нагрузки равна площади треугольника, представляющего собой эпюру нагрузки и приложена в центре тяжести этого треугольника. Составляем суммы моментов всех сил относительно точек А и В: Построение эпюры Q. Проведем произвольное сечение на расстоянии x от левой опоры. Ордината эпюры нагрузки, соответствующая сечению, определяется из подобия треугольников Равнодействующая той части нагрузки, которая распложена слева от сечения Поперечная сила в сечении равна Поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы Приравнивая уравнение поперечной силы нулю, находим абсциссу того сечения, в котором эпюра Q переходит через нуль: Эпюра Q представлена на рис. 1.5, б. Изгибающий момент в произвольном сечении равен Изгибающий момент изменяется по закону кубической параболы: Максимальное значение изгибающий момент имеет в сечении, где 0, т. е. при Эпюра М представлена на рис. 1.5, в. 1.3. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям (точкам) Используя дифференциальные зависимости между М, Q, q и выводы, вытекающие из них, целесообразно строить эпюры Q и М по характерным сечениям (без составления уравнений). Применяя этот способ, вычисляют значения Q и М в характерных сечениях. Характерными сечениями являются граничные сечения участков, а также сечения, где данный внутренний силовой фактор имеет экстремальное значение. В пределах между характерными сечениями очертание 12 эпюры устанавливается на основе дифференциальных зависимостей между М, Q, q и выводами, вытекающими из них. Пример 1.3 Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на рис. 1.6, а. Рис. 1.6. Решение: Построение эпюр Q и М начинаем от свободного конца балки, при этом реакции в заделке можно не определять. Балка имеет три участка нагружения: АВ, ВС, CD. На участках АВ и ВС распределенная нагрузка отсутствует. Поперечные силы постоянны. Эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюра М ограничена прямыми, наклонными к оси абсцисс. На участке CD имеется равномерно распределенная нагрузка. Поперечные силы изменяются по линейному закону, а изгибающие моменты – по закону квадратной параболы с выпуклостью в сторону действия распределенной нагрузки. На границе участков АВ и ВС поперечная сила изменяется скачкообразно. На границе участков ВС и CD скачкообразно изменяется изгибающий момент. 1. Построение эпюры Q. Вычисляем значения поперечных сил Q в граничных сечениях участков: По результатам расчетов строим эпюру Q для балки (рис. 1, б). Из эпюры Q следует, что поперечная сила на участке CD равна нулю в сечении, отстоящем на расстоянии qa a q от начала этого участка. В этом сечении изгибающий момент имеет максимальное значение. 2. Построение эпюры М. Вычисляем значения изгибающих моментов в граничных сечениях участков: При мaаксимальный момент на участке По результатам расчетов строим эпюру М (рис. 5.6, в). Пример 1.4 По заданной эпюре изгибающих моментов (рис. 1.7, а) для балки (рис. 1.7, б) определить действующие нагрузки и построить эпюру Q. Кружком обозначена вершина квадратной параболы. Решение: Определим нагрузки, действующие на балку. Участок АС загружен равномерно распределённой нагрузкой, так как эпюра М на этом участке – квадратная парабола. В опорном сечении В к балке приложен сосредоточенный момент, действующий по часовой стрелке, так как на эпюре М имеем скачок вверх на величину момента. На участке СВ балка не нагружена, т. к. эпюра М на этом участке ограничена наклонной прямой. Реакция опоры В определяется из условия, что изгибающий момент в сечении С равен нулю, т. е. Для определения интенсивности распределенной нагрузки составим выражение для изгибающего момента в сечении А как сумму моментов сил справа и приравняем к нулю Теперь определим реакцию опоры А. Для этого составим выражение для изгибающих моментов в сечении как сумму моментов сил слева Расчетная схема балки с нагрузкой показана на рис. 1.7, в. Начиная с левого конца балки, вычисляем значения поперечных сил в граничных сечениях участков: Эпюра Q представлена на рис. 1.7, г. Рассмотренная задача может быть решена путем составления функциональных зависимостей для М, Q на каждом участке. Выберем начало координат на левом конце балки. На участке АС эпюра М выражается квадратной параболой, уравнение которой имеет вид Постоянные а, b, с находим из условия, что парабола проходит через три точки с известными координатами: Подставляя координаты точек в уравнение параболы, получим: Выражение для изгибающего момента будет Дифференцируя функцию М1, получим зависимость для поперечной cилы После дифференцирования функции Q получим выражение для интенсивности распределённой нагрузки На участке СВ выражение для изгибающего момента представляется в виде линейной функции Для определения постоянных а и b используем условия, что данная прямая проходит через две точки, координаты которых известны Получим два уравнения: ,b из которых имеем a 20. Уравнение для изгибающего момента на участке СВ будет После двукратного дифференцирования М2 найдём По найденным значениям М и Q строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки. Помимо распределённой нагрузки к балке прикладываются сосредоточенные силы в трех сечениях, где на эпюре Q имеются скачки и сосредоточенные моменты в том сечении, где на эпюре М имеется скачок. Пример 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) определить рациональное положение шарнира С, при котором наибольший изгибающий момент в пролете равен изгибающему моменту в заделке (по абсолютной величине). Построить эпюры Q и М. Решение Определение реакций опор. Несмотря на то, что общее число опорных связей равно четырем, балка статически определима. Изгибающий момент в шарнире С равен нулю, что позволяет составить дополнительное уравнение: сумма моментов относительно шарнира всех внешних сил, действующих по одну сторону от этого шарнира, равна нулю. Составим сумму моментов всех сил справа от шарнира С. Эпюра Q для балки ограничена наклонной прямой, так как q = const. Определяем значения поперечных сил в граничных сечениях балки: Абсцисса xK сечения, где Q = 0, определяется из уравнения откуда Эпюра М для балки ограничена квадратной параболой. Выражения для изгибающих моментов в сечениях, где Q = 0, и в заделке записываются соответственно так: Из условия равенства моментов получаем квадратное уравнение относительно искомого параметра х: Реальное значение x2x 1,029 м. Определяем численные значения поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки На рис.1.8, б показана эпюра Q, а на рис. 1.8, в – эпюра М. Рассмотренную задачу можно было решить способом расчленения шарнирной балки на составляющие ее элементы, как это показано на рис. 1.8, г. В начале определяются реакции опор VC и VB . Строятся эпюры Q и М для подвесной балки СВ от действия приложенной к ней нагрузки. Затем переходят к основной балке АС, нагрузив ее дополнительной силой VC , являющейся силой давления балки СВ на балку АС. После чего строят эпюры Q и М для балки АС. 1.4. Расчеты на прочность при прямом изгибе балок Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям. При прямом изгибе балки в поперечных сечениях ее возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 1.9). 18 Рис. 1.9 Нормальные напряжения связаны с изгибающим моментом, касательные напряжения связаны с поперечной силой. При прямом чистом изгибе касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки определяются по формуле (1.4) где M – изгибающий момент в данном сечении; Iz – момент инерции сечения относительно нейтральной оси z; y – расстояние от точки, где определяется нормальное напряжение, до нейтральной оси z. Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольшей величины в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси Если сечение симметрично относительно нейтральной оси (рис. 1.11), то Рис. 1.11 наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы и определяются по формуле, – осевой момент сопротивления сечения при изгибе. Для прямоугольного сечения шириной b высотой h: (1.7) Для круглого сечения диаметра d: (1.8) Для кольцевого сечения – соответственно внутренний и наружный диаметры кольца. Для балок из пластичных материалов наиболее рациональными являются симметричные 20 формы сечений (двутавровое, коробчатое, кольцевое). Для балок из хрупких материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, рациональными являются сечения, несимметричные относительно нейтральной оси z (тавр., П-образное, несимметричный двутавр). Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при симметричных формах сечений условие прочности записывается так: (1.10) где Mmax – максимальный изгибающий момент по модулю; – допускаемое напряжение для материала. Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при несимметричных формах сечений условие прочности записывается в следующем виде: (1.11) Для балок из хрупких материалов с сечениями, несимметричными относительно нейтральной оси, в случае, если эпюра М однозначна (рис. 1.12), нужно записать два условия прочности – расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек соответственно растянутой и сжатой зон опасного сечения; P – допускаемые напряжения соответственно на растяжение и сжатие. Рис.1.12. 21 Если эпюра изгибающих моментов имеет участки разных знаков (рис. 1.13), то помимо проверки сечения 1-1, где действуетMmax, необходимо произвести расчет по наибольшим растягивающим напряжениям для сечения 2-2 (с наибольшим моментом противоположного знака). Рис. 1.13 Наряду с основным расчетом по нормальным напряжениям в ряде случаев приходится делать проверку прочности балки по касательным напряжениям. Касательные напряжения в балки вычисляются по формуле Д. И. Журавского (1.13) где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; Szотс – статический момент относительно нейтральной оси площади части сечения, расположенной по одну сторону прямой, проведенной через данную точку и параллельной оси z; b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки; Iz – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси z. Во многих случаях максимальные касательные напряжения возникают на уровне нейтрального слоя балки (прямоугольник, двутавр, круг). В таких случаях условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде, (1.14) где Qmax – наибольшая по модулю поперечная сила; – допускаемое касательное напряжение для материала. Для прямоугольного сечения балки условие прочности имеет вид (1.15) А – площадь поперечного сечения балки. Для круглого сечения условие прочности представляется в виде (1.16) Для двутаврового сечения условие прочности записывается так: (1.17) где Szо,тmсax – статический момент полусечения относительно нейтральной оси; d – толщина стенки двутавра. Обычно размеры поперечного сечения балки определяются из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверка прочности балок по касательным напряжениям производится в обязательном порядке для коротких балок и балок любой длинны, если вблизи опор имеются сосредоточенные силы большой величины, а также для деревянных, клёпанных и сварных балок. Пример 1.6 Проверить прочность балки коробчатого сечения (рис. 1.14) по нормальным и касательным напряжениям, если МПа. Построить эпюры в опасном сечении балки. Рис. 1.14 Решение 23 1. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям. Рассматривая левую часть балки, получим Эпюра поперечных сил представлена на рис. 1.14,в. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.14, г. 2. Геометрические характеристики поперечного сечения 3. Наибольшие нормальные напряжения в сечение С, где действует Mmax (по модулю): МПа. Максимальные нормальные напряжения в балке практически равны допускаемым. 4. Наибольшие касательные напряжения в сечении С (или А), где действует max Q (по модулю): Здесь – статический момент площади полусечения относительно нейтральной оси; b2 см – ширина сечения на уровне нейтральной оси. 5. Касательные напряжения в точке (в стенке) в сечении С: Рис. 1.15 Здесь Szomc 834,5 108 см3 – статический момент площади части сечения, расположенной выше линии, проходящей через точку K1; b2 см – толщина стенки на уровне точки K1. Эпюры и для сечения С балки показаны рис. 1.15. Пример 1.7 Для балки, показанной на рис. 1.16, а, требуется: 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по характерным сечениям (точкам). 2. Определить размеры поперечного сечения в виде круга, прямоугольника и двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям, сравнить площади сечений. 3. Проверить подобранные размеры сечений балок по касательным напряжения. Дано: Решение: 1. Определяем реакции опор балки Проверка: 2. Построение эпюр Q и М. Значения поперечных сил в характерных сечениях балки 25 Рис. 1.16 На участках CA и AD интенсивность нагрузки q = const. Следовательно, на этих участках эпюра Q ограничивается прямыми, наклонными к оси. На участке DB интенсивность распределенной нагрузки q = 0, следовательно, на этом участке эпюра Q ограничивается прямой, параллельной оси х. Эпюра Q для балки показана на рис. 1.16,б. Значения изгибающих моментов в характерных сечениях балки: На втором участке определяем абсциссу x2 сечения, в котором Q = 0: Максимальный момент на втором участке Эпюра М для балки показана на рис. 1.16, в. 2. Составляем условие прочности по нормальным напряжениям откуда определяем требуемый осевой момент сопротивления сечения из выражения определяемый требуемый диаметр d балки круглого сечения Площадь круглого сечения Для балки прямоугольного сечения Требуемая высота сечения Площадь прямоугольного сечения Определяем требуемый номер двутавровой балки. По таблицам ГОСТ 8239-89 находим ближайшее большее значение осевого момента сопротивления 597см3, которое соответствует двутавру № 33 с характеристиками: A z 9840 см4. Проверка на допуск: (недогрузка на 1 % от допустимого 5 %) ближайший двутавр № 30 (W 2 см3) приводит к значительной перегрузке (более 5%). Окончательно принимаем двутавр № 33. Сравниваем площади круглого и прямоугольного сечений с наименьшей площадью А двутавра: Из трех рассмотренных сечений наиболее экономичным является двутавровое сечение. 3. Вычисляем наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении 27 двутавровой балки (рис. 1.17, а): Нормальные напряжения в стенке около полки двутаврового сечения балки Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки показана на рис. 1.17, б. 5. Определяем наибольшие касательные напряжения для подобранных сечений балки. а) прямоугольное сечение балки: б) круглое сечение балки: в) двутавровое сечение балки: Касательные напряжения в стенке около полки двутавра в опасном сечении А (справа) (в точке 2): Эпюра касательных напряжений в опасных сечениях двутавра показана на рис. 1.17,в. Максимальные касательные напряжения в балке не превышают допускаемых напряжений Пример 1.8 Определить допускаемую нагрузку на балку (рис. 1.18, а), если60МПа, размеры поперечного сечения заданы (рис. 1.19, а). Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки при допускаемой нагрузке. Рис 1.18 1. Определение реакций опор балки. Ввиду симметрии системы 2. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям. Поперечные силы в характерных сечениях балки: Эпюра Q для балки показана на рис. 5.18, б. Изгибающие моменты в характерных сечениях балки Для второй половины балки ординаты М – по осям симметрии. Эпюра М для балки показана на рис. 1.18, б. 3.Геометрические характеристики сечения (рис. 1.19). Разбиваем фигуру на два простейших элемента: двутавр – 1 и прямоугольник – 2. Рис. 1.19 По сортаменту для двутавра № 20 имеем Для прямоугольника: Статический момент площади сечения относительно оси z1 Расстояние от оси z1 до центра тяжести сечения Момент инерции сечения относительно главной центральной оси z всего сечения по формулам перехода к параллельным осям 4. Условие прочности по нормальным напряжениям для опасной точки «а» (рис. 1.19) в опасном сечении I (рис. 1.18): После подстановки числовых данных 5. При допускаемой нагрузке в опасном сечении нормальные напряжения в точках «а» и «b» будут равны: Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения 1-1 показана на рис. 1.19, б.
Поперечный изгиб получается, когда сила действует на брус по направлению, поперечному к его длине.
Рассмотрим два варианта поперечного изгиба: первый, балка лежит на двух опорах, причем груз расположен на балке в пределах между опорами и второй, балка прочно заделана одним концом в стену, а груз находится на свободном конце балки.
Прежде всего выясним, какое влияние на изгиб оказывает место приложения силы. Если мы положим доску на две опоры и будем по ней двигаться от опоры к середине, то прогиб доски будет непрерывно возрастать по мере нашего приближения к середине. Из этого опыта можно сделать заключение, что чем ближе к середине будет приложена сила, тем больше будет прогиб балки. То же самое явление мы будем наблюдать при опыте с балкой, заделанной одним концом в стену, при перемещении груза от стены к концу балки.
В зданиях и сооружениях на балку могут действовать одновременно несколько сил, и притом они могут перемещаться, как, например, автомобили на мосту. Определить влияние этих сил на балку не так просто, как это мы делаем при растяжении или сжатии. Зависимость получается не простая, и человеку без высшего технического образования заниматься этим вопросом сложно.
Как уже было сказано, сила может быть приложена в любом месте балки. Такая сила, имеющая одну точку приложения, называется сосредоточенной .
Если сила равномерно распределена по всей длине балки, то такая сила называется равномерно-распределенной .
Например, на балке в одном месте находится мешок с песком весом 100 кг, это будет сосредоточенная нагрузка (сила), а если тот же груз равномерно рассыпать по всей длине балки, то это будет равномерно-распределенная нагрузка. И в том и в другом случае величина силы одинакова 100 кг, но способ распределения различен. В зависимости от этого и напряжение в балке будет различное, а именно, при сосредоточенной по середине балки нагрузке напряжение будет в 2 раза больше, чем при нагрузке, равномерно-распределенной.
Нам уже известно, что, чем больше сосредоточенный груз будет приближаться к опоре, тем меньше будет прогиб балки, и тем меньше напряжение в материале. Следовательно, если балка будет иметь достаточную прочность при расположении какого-либо груза по середине, то она, безусловно, выдержит этот груз, если он будет находиться в каком угодно месте балки.
Далее, очень интересно выяснить, какие получаются напряжения в нагруженной балке, и как они распределены. Произведем такой опыт: возьмем брус и сделаем на нем пропил в верхней стороне, а затем его нагрузим. Мы увидим, что обе стороны пропила сблизятся вплотную друг к другу. Из этого опыта мы заключаем, что в верхней части бруса, под влиянием нагрузки, происходит сжатие.
Если мы теперь сделаем пропил в нижней стороне бруса и опять его нагрузим, то увидим, что края пропила разошлись и пропил в нижней части сделался очень широким. Из этого мы заключаем, что в нижней части бруса, под влиянием нагрузки, происходит растяжение. Итак, следовательно, в верхней части бруса или балки под влиянием нагрузки происходит сжатие, а в нижней - растяжение. Но так как это происходит в одной и той же балке одновременно, то очевидно, что где-то есть место, в котором растяжение переходит в сжатие, и наоборот. Такое место, действительно, имеется в каждой балке. Эту линию, или вернее плоскость раздела сжатия от растяжения, называют нейтральной осью. В деревянной балке прямоугольного сечения она находится приблизительно посредине высоты.
Так как мы теперь знаем распределение усилий в брусе, находящемся под грузом, то нам будет вполне понятно, как иногда выпрямляют сильно погнувшуюся балку. Для этого ее подпирают и в верхней части балки делают пропил с забиванием в него клина с одновременным поддомкрачиванием снизу. Так как в целой балке, находящейся под грузом, сила растяжения в нижней части равна силе сжатия в верхней, то при забивке клиньев, очевидно, сила сжатия в верхней части балки увеличится, и балка искривится в обратную сторону, т. е. выпрямится.
Далее, не трудно убедиться, что при изгибе балки в ней появляются скалывающие усилия. Для этого опыта возьмем два одинаковой длины бруса и положим один брус на другой. В ненагруженном состоянии торцы их будут совпадать, как показано на рис. 4а. Если теперь мы их нагрузим, то произойдет прогиб брусьев, и торцы их будут расположены так, как показано на рис. 4б. Мы видим, что торцы брусьев не совпадают и нижняя кромка торца верхнего бруса выступает за линию верхней кромки торца нижнего бруса. Очевидно, что по плоскости соприкосновения брусьев произошел сдвиг, в результате которого и появилось выдвижение концов одного бруса над другим. Если бы брус был из одного куска дерева, то очевидно, что никаких изменений на концах бруса мы не заметили бы, но несомненно, что в этом брусе в нейтральной плоскости были бы скалывающие усилия, и если бы прочность дерева была недостаточна, то по концам бруса обнаружилось бы расслоение.
Рис. 4. Изгиб составной балки
После этого опыта становится вполне понятным устройство составных балок на шпонках. На рис. 5 показана такая балка, состоящая из трех брусков, между которыми врублены шпонки. Очевидно, что конец одной балки не может сдвинуться относительно другой, так как этому перемещению препятствуют шпонки. Чем прочнее связь между шпонками и балками, тем жестче балка.
Продолжим предыдущий опыт. Если мы через оба бруса проведем на равном расстоянии черты карандашом, как показано на рис. 4а, и затем нагрузим брусья, то увидим, что средняя черта на обоих брусьях останется без изменения, а все остальные сместятся, как показано на рис. 4б. При этом расхождение черточек будет тем больше, чем дальше они отстоят от середины. Из этого опыта мы заключаем, что наибольшая скалывающая сила находится у концов балок. Вот почему в балках на шпонках следует шпонки ставить чаще к концам и реже к середине.
Рис. 5. Составная балка с врубленными шпонками
Итак, все проделанные опыты убеждают нас в том, что в нагруженной балке возникают различные напряжения.
Будем опять учиться на опыте. Все знают, что если положить доску плашмя и нагрузить ее, то она заметно прогнется, а если ту же доску поставить на ребро и нагрузить ее той же нагрузкой, то прогиб почти не будет заметен. Этот опыт убеждает нас в том, что величина изгиба зависит, главным образом, от высоты балки, а не от ширины. Если взять два квадратных бруса и сплотить их шпонками и болтами, так чтобы получилась одна балка высотою в два квадрата, то такая балка сможет выдержать груз в два раза больше, чем обе эти балки, положенные рядом. При трех балках груз может быть в 4,5 раза больше и т. д.
Из этих опытов нам ясно, что гораздо выгоднее увеличивать высоту балки, чем ее ширину, но, конечно, до известного предела, так как при очень высокой и тонкой балке она сможет изогнуться в сторону.
Так как балки вытесываются или выпиливаются из бревен, то является вопрос, какое же отношение должно быть между высотой и шириной балки, чтобы получить балку наибольшей прочности. Строительная механика дает точный ответ на этот вопрос, а именно, в высоте должно быть 7 каких-либо мер, а в ширине таких же точно мер только 5. Практически это делается, следующим образом. На торце круглого бревна (рис.6) проводят, через центр линию и делят ее на три равные части. Затем из этих точек по наугольнику проводят в противоположные стороны линии до края торца. Наконец, эти крайние точки соединяют с концами линии, проведенной через центр торца, и у нас получится прямоугольник, у которого длинная сторона будет иметь 7 мер, а короткая таких же 5. По этим линиям производится опиловка или обтеска бревна и получается самая прочная балка прямоугольного сечения, какую только можно сделать из данного бревна.
Рис. 6. Балка наибольшей прочности, которую можно вырубить из бревна
Интересно отметить, что, круглое бревно менее прочно в отношении изгиба, чем тоже бревно со слегка стесанными горбылями с верхней и нижней стороны.
На основании всего вышеизложенного можно сделать заключение, что точное определение размеров балок зависит от многих обстоятельств: от числа и местоположения грузов, от рода нагрузки, от способа ее распределения (сплошная или сосредоточенная), от формы балки, ее длины и т. д. Учет всех этих обстоятельств довольно сложен и плотнику-практику он недоступен.
При определении размеров балок, необходимо, кроме прочности, иметь в виду также и прогиб балок. Иногда на постройке плотники высказывают недоумение, почему ставится такая толстая балка, можно было бы взять и потоньше. Совершенно верно, и более тонкая балка выдержит тот груз, который на ней будет расположен, но когда впоследствии по полу на тонких балках будут ходить или танцевать, то такой пол будет гнуться, как качели. Для избегания очень неприятной зыбкости пола, балки кладут толще, чем это требуется по условиям прочности. В жилых домах прогиб балок допускается не свыше 1/250 пролета. Если, например, пролет 9 м, то есть 900 см, то наибольший прогиб должен быть не больше 900: 250, что составит З,6 см.
В заключение следует упомянуть об одном практическом правиле для определения высоты балок в жилых зданиях, а именно: высота балки должна быть не менее 1/24 длины балки. Например, если длина балки 8 м (800 см), то высота должна быть 800: 24 = 33 см.
Для практических целей, помимо всего вышеизложенного, следует ознакомиться с прилагаемыми таблицами, которые дадут возможность, без всяких затруднений легко и быстро определять нужный размер балки для случая равномерно-распределенной нагрузки. В этих таблицах указаны допускаемые нагрузки на балки прямоугольного и круглого сечения, для различных размеров балок и для разных пролетов.
Пример1. В помещении с пролетом 8 м имеется нагрузка весом 2,5 т (2500 кг). Нужно подобрать балки для этой нагрузки.В таблице прямоугольных балок рассматриваем столбец с пролетом 8 м. Нагрузку в 2500 кг может выдержать балка сечением 31×22 см или две балки 26×18,5, или три балки 24,5×17,5 см и т.д. Балки нужно распределить с соответствующим шагом учитывая, что крайние балки несут половину нагрузки от балок, расположенных посредине.Для груза, расположенного сосредоточенно по середине пролета, величина его должна быть в два раза меньше, чем указано в таблице.
Пример 2. Для прямоугольной балки 7 к 5 из 32-сантиметрового бревна при пролете в 6 м можно допустить равномерно-распределенную нагрузку в 2632 кг (см. таблицу). Если груз будет сосредоточен посредине балки, то можно допустить нагрузку лишь вдвое меньшую, а именно 2632: 2 = 1316 кг.Пример 3. Какого размера балка из бревна, отесанного или опиленного на два канта, выдержит сосредоточенную посредине нагрузку в 1,6 тонны (1600 кг), при пролете в 8 м?В задании дана сосредоточенная сила, мы знаем, что эта балка должна выдерживать в два раза большую равномерно-распределенную нагрузку, то есть 1600×2=3200 кг. Смотрим в таблице для лафета столбец для пролета в 8 м. Ближайшая к 3200 цифра в таблице 3411 каковой цифре соответствует бревно диаметром в 34 см.
Если балка заделана прочно одним концом в стену, то она может выдержать груз, сосредоточенный на ее свободном конце, в 8 раз меньший, чем та же балка, лежащая на двух опорах и несущая равномерно-распределенную нагрузку.
Пример 4. Какого диаметра бревно, отесанное или опиленное на четыре канта, прочно заделанное одним концом в стену и имеющее свободный конец в 3 м, может выдержать сосредоточенный груз в 800 кг, прикрепленный к ее свободному концу?Если бы эта балка лежала, на двух опорах, то она могла бы выдержать груз в 8 раз больший, то есть 800 × 8 = 6400 кг. Смотрим в таблице для обзольного бруса столбец для пролета в 3 м и находим две ближайшие цифры 5644 кг и 6948 кг. Этим цифрам соответствуют бревна в 30 и 32 см. Можно взять бревно в 31 см.Если на балке, заделанной одним концом в стену, нагрузка распределена равномерно, то такая балка может выдержать нагрузку в 4 раза меньшую, чем та же балка, лежащая на двух опорах.
Пример 5. Какой груз может выдержать балка прямоугольного сечения, заделанная одним концом в стену, со свободным концом длиною в 4 м, нагруженная равномерно-распределенной нагрузкой общим весом в 600 кг?Если бы эта балка лежала на двух опорах, то она могла бы выдержать груз в 4 раза больший, то есть 600×4=2400 кг. Смотрим в таблице для балки 7 к 5 столбец для пролета в 4 м. Ближайшая цифра 2746, каковой цифре соответствует бревно в 28 см, или брус в 23×16 см.При расчетах балок может встретиться такой вопрос какое давление испытывают опоры (стены или колонны) от лежащей на них балки с грузом?
Если груз распределен равномерно по всей балке или сосредоточен посредине, то обе опоры несут одинаковую нагрузку.
Если груз расположен ближе к одной опоре, то эта опора несет больший груз, чем другая. Чтобы узнать какой именно, - нужно величину груза умножить на расстояние до другой опоры и разделить на пролет.
Пример 6. На балке, длиною в 4 м, расположен груз в 100 кг, в расстоянии 1 м от левой опоры и, следовательно, в расстоянии 3 м от правой. Требуется найти нагрузку на левую опору.Умножаем 100 на 3 и полученное число делим на 4, получим 75. Следовательно, левая опора испытывает давление в 75, а правая оставшуюся часть нагрузки, то есть 100-75=25 кг.Если на балке находятся несколько грузов, то расчет нужно сделать для каждого груза отдельно, и затем полученные нагрузки на одну опору сложить.
Как и в § 17, предположим, что поперечное сечение стержня имеет две оси симметрии, одна из которых лежит в плоскости изгиба.
В случае поперечного изгиба стержня в поперечном сечении его возникают касательные напряжения, и при деформации стержня оно не остается плоским, как в случае чистого изгиба. Однако для бруса сплошного поперечного сечения влиянием касательных напряжений при поперечном изгибе можно пренебречь и приближенно принять, что так же, как и в случае чистого изгиба, поперечное сечение стержня при его деформации остается плоским. Тогда выведенные в § 17 формулы для напряжений и кривизны остаются приближенно справедливыми. Они являются точными для частного случая постоянной по длине стержня поперечной силы 1102).
В отличие от чистого изгиба при поперечном изгибе изгибающий момент и кривизна не остаются постоянными по длине стержня. Основная задача в случае поперечного изгиба - определение прогибов. Для определения малых прогибов можно воспользоваться известной приближенной зависимостью кривизны изогнутого стержня от прогиба 11021. На основании этой зависимости кривизна изогнутого стержня х с и прогиб V е , возникшие вследствие ползучести материала, связаны соотношением х с = = dV
Подставив в это соотношение кривизну по формуле (4.16), устанавливаем, что
Интегрирование последнего уравнения дает возможность получить прогиб, возникший вследствие ползучести материала балки.
Анализируя приведенное выше решение задачи о ползучести изогнутого стержня, можно заключить, что оно полностью эквивалентно решению задачи об изгибе стержня из материала, у которого диаграммы растяжения-сжатия могут быть аппроксимированы степенной функцией. Поэтому определение прогибов, возникших из-за ползучести, в рассматриваемом случае может быть произведено и при помощи интеграла Мора для определения перемещения стержней, выполненных из материала, не подчиняющегося закону Гука
Эпюры нормальных напряжений действующих по площадкам 1-2 и 3-4 при положительном значении М, показаны на рис. 39.7. По этим же площадкам действуют и касательные напряжения также показанные на рис. 39.7. Величина этих напряжений изменяется по высоте сечения.
Обозначим величину касательного напряжения в нижних точках площадок 1-2 и 3-4 (на уровне ). По закону парности касательных напряжений следует, что такие же по величине касательные напряжения действуют по нижней площадке 1-4 выделенного элемента. Нормальные напряжения по этой площадке считаются равными нулю, так как в теории изгиба предполагается, что продольные волокна балки не оказывают друг на друга давления.
Площадку 1-2 или 3-4 (рис. 39.7 и 40.7), т. е. часть поперечного сечения, расположенную выше уровня (выше площадки 1-4), называют отсеченной частью поперечного сечения. Ее площадь обозначим
Составим уравнение равновесия для элемента 1-2-3-4 в виде суммы проекций всех приложенных к нему сил на ось балки:
Здесь - равнодействующая элементарных сил возникающих по площадке 1-2 элемента; - равнодействующая элементарных сил возникающих по площадке 3-4 элемента; - равнодействующая элементарных касательных сил, возникающих по площадке 1-4 элемента; - ширина поперечного сечения балки на уровне у
Подставим в уравнение (27.7) выражения по формулам (26.7):
Но на основании теоремы Журавского [формула (6.7)]
Интеграл представляет собой статический момент площади относительно нейтральной оси поперечного сечения балки.
Следовательно,
По закону парности касательных напряжений напряжения в точках поперечного сечения балки, отстоящих на расстояние от нейтральной оси, равны (по абсолютной величине) т. е.
Таким образом, величины касательных напряжений в поперечных сечениях балки и в сечениях ее плоскостями, параллельными нейтральному слою, определяются по формуле
Здесь Q - поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; - статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от уровня, на котором определяются касательные напряжения; J - момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси; - ширина поперечного сечения балки на том уровне, на котором определяются касательные напряжения .
Выражение (28.7) называется формулой Журавского.
Определение касательных напряжений по формуле (28.7) производится в следующем порядке:
1) проводится поперечное сечение балки;
2) для этого поперечного сечения определяются значения поперечной силы Q и величина J момента инерции сечения относительно главной центральной оси, совпадающей с нейтральной осью;
3) в поперечном сечении на уровне, для которого определяются касательные напряжения, параллельно нейтральной оси проводится прямая, отсекающая часть сечения; длина отрезка этой прямой, заключенного внутри контура поперечного сечения, представляет собой ширину , входящую в знаменатель формулы (28.7);
4) вычисляется статический момент S отсеченной (расположенной по одну сторону от прямой, указанной в п. 3) части сечения относительно нейтральной оси;
5) по формуле (28.7) определяется абсолютное значение касательного напряжения . Знак касательных напряжений в поперечном сечении балки совпадает со знаком поперечной силы, действующей в этом сечении. Знак же касательных напряжений в площадках, параллельных нейтральному слою, противоположен знаку поперечной силы.
Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоугольном поперечном сечении балки, изображенном на рис. 41.7, а. Поперечная сила в этом сечении действует параллельно оси у и равна
Момент инерции поперечного сечения относительно оси
Для определения касательного напряжения в некоторой точке С проведем через эту точку прямую 1-1, параллельную оси (рис. 41.7, а).
Определим статический момент S части сечения, отсеченной прямой 1-1, относительно оси . За отсеченную можно принимать как часть сечения, расположенную выше прямой 1-1 (заштрихованную на рис. 41.7, а), так и часть, расположенную ниже этой прямой.
Для верхней части
Подставим в формулу (28.7) значения Q, S, J и b:
Из этого выражения следует, что касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по закону квадратной параболы. При напряжения Наибольшие напряжения имеются в точках нейтральной оси, т. е. при
где - площадь поперечного сечения.
Таким образом, в случае прямоугольного сечения наибольшее касательное напряжение в 1,5 раза больше среднего его значения, равного Эпюра касательных напряжений, показывающая их изменение по высоте сечения балки, изображена на рис. 41.7, б.
Для проверки полученного выражения [см. формулу (29.7)] подставим его в равенство (25.7):
Полученное тождество свидетельствует о правильности выражения (29.7).
Параболическая эпюра касательных напряжений, показанная на рис. 41.7, б, является следствием того, что при прямоугольном сечении статический момент отсеченной части сечения изменяется с изменением положения прямой 1-1 (см. рис. 41.7, а) по закону квадратной параболы.
При сечениях любой другой формы характер изменения касательных напряжений по высоте сечения зависит от того, по какому закону изменяется отношение при этом, если на отдельных участках высоты сечения ширина b постоянна, то напряжения на этих участках изменяются по закону изменения статического момента
В точках поперечного сечения балки, наиболее удаленных от нейтральной оси, касательные напряжения равны нулю, так как при определении напряжений в этих точках в формулу (28.7) подставляется значение статического момента отсеченной части сечения, равное нулю.
Величина 5 достигает максимума для точек, расположенных на нейтральной оси, однако касательные напряжения при сечениях с переменной шириной b могут не быть максимальными на нейтральной оси. Так, например, эпюра касательных напряжений для сечения, изображенного на рис. 42.7, а имеет вид, показанный на рис. 42.7, б.
Касательные напряжения, возникающие при поперечном изгибе в плоскостях, параллельных нейтральному слою, характеризуют собой силы взаимодействия между отдельными слоями балки; эти силы стремятся сдвинуть соседние слои друг относительно друга в продольном направлении.
Если между отдельными слоями балки не имеется достаточной связи, то такой сдвиг произойдет. Например, доски, положенные друг на друга (рис. 43.7, а), будут сопротивляться внешней нагрузке, как целый брус (рис. 43.7, б), пока усилия по плоскостям соприкасания досок не превысят сил трения между ними. Когда же силы трения будут превзойдены, то доски сдвинутся одна по другой, как это показано на рис. 43.7, в. При этом прогибы досок резко увеличатся.
Касательные напряжения, действующие в поперечных сечениях балки и в сечениях, параллельных нейтральному слою, вызывают деформации сдвига, в результате которых прямые углы между этими сечениями искажаются, т. е. перестают быть прямыми. Наибольшие искажения углов имеются в тех точках поперечного сечения, в которых действуют наибольшие касательные напряжения; у верхнего и нижнего краев балки искажения углов отсутствуют, так как касательные напряжения там равны нулю.
В результате деформаций сдвига поперечные сечения балки при поперечном изгибе искривляются. Однако это существенно не влияет на деформации продольных волокон, а следовательно, и на распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях балки.
Рассмотрим теперь распределение касательных напряжений в тонкостенных балках с поперечными сечениями, симметричными относительно оси у, по направлению которой действует поперечная сила Q, например, в балке двутаврового сечения, изображенной на рис. 44.7, а.
Для этого по формуле Журавского (28.7) определим касательные напряжения в некоторых характерных точках поперечного сечения балки.
В верхней точке 1 (рис. 44.7, а) касательные напряжения так как вся площадь поперечного сечения расположена ниже этой точки, а потому статический момент 5 относительно оси (части площади сечения, расположенной выше точки 1) равен нулю.
В точке 2, расположенной непосредственно над линией, проходящей через нижнюю грань верхней полки двутавра, касательные напряжения, подсчитанные по формуле (28.7),
Между точками 1 и 2 напряжения [определяемые по формуле (28.7)] изменяются по квадратной параболе, как для прямоугольного сечения. В стенке двутавра в точке 3, расположенной непосредственно под точкой 2, касательные напряжения
Так как ширина b полки двутавра значительно больше толщины d вертикальной стенки, то эпюра касательных напряжений (рис. 44.7, б) имеет резкий скачок в уровне, соответствующем нижней грани верхней полки. Ниже точки 3 касательные напряжения в стенке двутавра изменяются по закону квадратной параболы, как для прямоугольника. Наибольшие касательные напряжения возникают на уровне нейтральной оси:
Эпюра касательных напряжений, построенная по полученным значениям и , изображена на рис. 44.7, б; она симметрична относительно ординаты .
Согласно этой эпюре, в точках, расположенных у внутренних граней полок (например, в точках 4 на рис. 44.7, а), действуют касательные напряжения перпендикулярные к контуру сечения. Но, как уже отмечалось, такие напряжения около контура сечения возникать не могут. Следовательно, предположение о равномерном распределении касательных напряжений по ширине b поперечного сечения, положенное в основу вывода формулы (28.7), неприменимо к полкам двутавра; оно неприменимо и к некоторым элементам других тонкостенных балок.
Касательные напряжения ту в полках двутавра определить методами сопротивления материалов нельзя. Эти напряжения весьма невелики по сравнению с напряжениями ту в стенке двутавра. Поэтому их не учитывают и эпюру касательных напряжений строят только для стенки двутавра, как показано на рис. 44.7, в.
В некоторых случаях, например при расчете составных балок, определяют величину Т касательных сил, действующих в сечениях балки, параллельных нейтральному слою и приходящихся на единицу ее длины. Эту величину найдем, умножив значение напряжения на ширину сечения b:
Подставим значение по формуле (28.7):
