Силы, действующие перпендикулярно к оси бруса и расположенные в плос-кости, проходящей через эту ось, вызывают деформацию, называемую попереч-ным изгибом . Если плоскость действия упомянутых сил – главная плоскость, то имеет место прямой (плоский) поперечный изгиб. В противном случае изгиб называется косым поперечным. Брус, подверженный преимущественно изгибу, называется балкой 1 .
По существу поперечный изгиб есть сочетание чистого изгиба и сдвига. В связи с искривлением поперечных сечений из-за неравномерности распределе-ния сдвигов по высоте возникает вопрос о возможности применения формулы нормального напряжения σ х , выведенной для чистого изгиба на основании гипотезы плоских сечений.
1 Однопролетная балка, имеющая по концам соответственно одну цилиндрическую неподвижную опору и одну цилиндрическую подвижную в направлении оси балки, называется простой . Балка с одним защемленным и другим свободным концом называется консолью . Простая балка, имеющая одну или две части, свешивающиеся за опору, называется консольной .
Если, кроме того, сечения взяты далеко от мест приложения нагрузки (на расстоянии, не меньшем половины высоты сечения бруса), то можно, как и в случае чистого изгиба, считать, что волокна не оказывают давления друг на друга. Значит, каждое волокно испытывает одноосное растяжение или сжатие.
При действии распределенной нагрузки поперечные силы в двух смежных сечениях будут отличаться на величину, равную qdx . Поэтому искривления сечений будут также несколько отличаться. Кроме того, волокна будут оказывать давление друг на друга. Тщательное исследование вопроса показывает, что если длина бруса l достаточно велика по сравнению с его высотой h (l / h > 5), то и при распределенной нагрузке указанные факторы не оказывают существенного влияния на нормальные напряжения в поперечном сечении и потому в практических расчетах могут не учитываться.
а б в
Рис. 10.5 Рис. 10.6
В сечениях под сосредоточенными грузами и вблизи них распределение σ х отклоняется от линейного закона. Это отклонение, носящее местный характер и не сопровождающееся увеличением наибольших напряжений (в крайних волокнах), на практике обычно не принимают во внимание.
Таким образом, при поперечном изгибе (в плоскости ху ) нормальные напряжения вычисляются по формуле
σ х = – [М z (x )/I z ]y .
Если проведем два смежных сечения на участке бруса, свободном от нагрузки, то поперечная сила в обоих сечениях будет одинакова, а значит, одинаково и искривление сечений. При этом какой-либо отрезок волокна ab (рис.10.5) переместится в новое положение a"b" , не претерпев дополнительного удлинения, и следовательно, не меняя величину нормального напряжения.
Определим касательные напряжения в поперечном сечении через парные им напряжения, действующие в продольном сечении бруса.
Выделим из бруса элемент длиной dx (рис. 10.7 а). Проведём горизонта-льное сечение на расстоянии у от нейтральной оси z , разделившее элемент на две части (рис. 10.7) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основа-
ние шириной b . В соответствии с законом парности касательных напряжений, напряжения действующие в продольном сечении равны напряжениям, действующим в поперечном сечении. С учётом этого в предположении о том, что касательные напряжения в площадке b распределены равномерно ис-пользуем условие ΣХ = 0, получим:
N * - (N * +dN *)+
где: N * - равнодействующая нормальных сил σв левом поперечном сече-нии элемента dx в пределах “отсечённой” площадки А * (рис. 10.7 г):
где: S=- статический момент “отсечённой” части поперечного сече-ния (заштрихованная площадь на рис. 10.7 в). Следовательно, можно записать:
Тогда можно записать:
Эта формула была получена в XIX веке русским ученым и инженером Д.И. Журавским и носит его имя. И хотя эта формула приближенная, так как усредняет напряжение по ширине сечения, но полученные результаты расчета по ней, неплохо согласуются с экспериментальными данными.
Для того, чтобы определить касательные напряжения в произвольной точке сечения отстоящей на расстоянии y от оси z следует:
Определить из эпюры величину поперечной силы Q, действующей в сечении;
Вычислить момент инерции I z всего сечения;
Провести через эту точку плоскость параллельную плоскости xz и определить ширину сечения b ;
Вычислить статический момент отсеченной площади Sотносительно главной центральной оси z и подставить найденные величины в формулу Жура-вского.
Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоуголь-ном поперечном сечении (рис. 10.6, в). Статический момент относительно оси z части сечения выше линии 1-1, на которой определяется напряжения запишем в виде:
Он изменяется по закону квадратной параболы. Ширина сечения в для прямоугольного бруса постоянна, то параболическим будет и закон изменения касательных напряжений в сечении (рис.10.6, в). При y =и у = − каса-тельные напряжения равны нулю, а на нейтральной оси z они достигают наибольшего значения.
Для балки круглого поперечного сечения на нейтральной оси имеем.
Прямой изгиб – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.
Чистый изгиб – это частный случай прямого изгиба, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю.
Пример чистого изгиба – участок CD на стержне AB . Изгибающий момент – это величина Pa пары внешних сил, вызывающая изгиб. Из равновесия части стержня слева от поперечного сечения mn следует, что внутренние усилия, распределенные по этому сечению, статически эквивалентны моменту M , равному и противоположно направленному изгибающему моменту Pa .
Чтобы найти распределение этих внутренних усилий по поперечному сечению, необходимо рассмотреть деформацию стержня.
В простейшем случае стержень имеет продольную плоскость симметрии и подвергается действию внешних изгибающих пар сил, находящихся в этой плоскости. Тогда изгиб будет происходить в той же плоскости.
Ось стержня nn 1 – это линия, проходящая через центры тяжести его поперечных сечений.
Пусть поперечное сечение стержня – прямоугольник. Нанесем на его грани две вертикальные линии mm и pp . При изгибе эти линии остаются прямолинейными и поворачиваются так, что остаются перпендикулярными продольным волокнам стержня.
Дальнейшая теория изгиба основана на допущении, что не только линии mm и pp , но все плоское поперечное сечение стержня остается после изгиба плоским и нормальным к продольным волокнам стержня. Следовательно, при изгибе поперечные сечения mm и pp поворачиваются относительно друг друга вокруг осей, перпендикулярных плоскости изгиба (плоскости чертежа). При этом продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а волокна на вогнутой стороне – сжатие.
Нейтральная поверхность – это поверхность, не испытывающая деформации при изгибе. (Сейчас она расположена перпендикулярно чертежу, деформированная ось стержня nn 1 принадлежит этой поверхности).
Нейтральная ось сечения – это пересечение нейтральной поверхности с любым с любым поперечным сечением (сейчас тоже расположена перпендикулярно чертежу).
Пусть произвольное волокно находится на расстоянии y от нейтральной поверхности. ρ – радиус кривизны изогнутой оси. Точка O – центр кривизны. Проведем линию n 1 s 1 параллельно mm . ss 1 – абсолютное удлинение волокна.
Относительное удлинение ε x волокна
Из этого следует, что деформации продольных волокон пропорциональны расстоянию y от нейтральной поверхности и обратно пропорциональны радиусу кривизны ρ .
Продольное удлинение волокон выпуклой стороны стержня сопровождается боковым сужением , а продольное укорочение вогнутой стороны – боковым расширением , как в случае простого растяжения и сжатия. Из-за этого вид всех поперечных сечений меняется, вертикальные стороны прямоугольника становятся наклонными. Деформация в боковом направлении z :
μ – коэффициент Пуассона.
Вследствие такого искажения все прямые линии поперечного сечения, параллельные оси z , искривляются так, чтоб остаться нормальными к боковым сторонам сечения. Радиус кривизны этой кривой R будет больше, чем ρ в таком же отношении, в каком ε x по абсолютной величине больше чем ε z , и мы получим
Этим деформациям продольных волокон отвечают напряжения
Напряжение в любом волокне пропорционально его расстоянию от нейтральной оси n 1 n 2 . Положение нейтральной оси и радиус кривизны ρ – две неизвестные в уравнении для σ x – можно определить из условия, что усилия, распределенные по любому поперечному сечению, образуют пару сил, которая уравновешивает внешний момент M .
Все вышесказанное также справедливо, если стержень не имеет продольную плоскость симметрии, в которой действует изгибающий момент, лишь бы только изгибающий момент действовал в осевой плоскости, которая заключает в себе одну из двух главных осей поперечного сечения. Эти плоскости называются главными плоскостями изгиба .
Когда имеется плоскость симметрии и изгибающий момент действует в этой плоскости, прогиб происходит именно в ней. Моменты внутренних усилий относительно оси z уравновешивают внешний момент M . Моменты усилий относительно оси y взаимно уничтожаются.
Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. При изгибе возникают деформация, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.
Брус, работающий при изгибе, называется балкой . Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой .
Изгиб называется плоским или прямым , если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.6.1).
Рис.6.1
При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M . В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N , поперечная Q силы и изгибающий момент M .
Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называетсячистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным . Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.
22.Плоский поперечный изгиб. Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями и внешней нагрузкой. Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского, названной по имени русского инженера-мостостроителя Д. И. Журавского (1821-1891 г.г.).
Эта теорема формулируется так:
Поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки.
23. Плоский поперечный изгиб. Посторение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 1
Отбросим правую часть балки и заменим ее действие на левую часть поперечной силой и изгибающим моментом. Для удобства вычисления закроем отбрасываемую правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением 1.
Поперечная сила в сечении 1 балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, которые видим после закрытия
Видим только реакцию опоры, направленную вниз. Таким образом, поперечная сила равна:
кН.
Знак «минус» нами взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения против хода часовой стрелки (или потому, что одинаково направлена с направлением поперечной силы по правилу знаков)
Изгибающий момент в сечении 1 балки, равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим после закрытия отброшенной части балки, относительно рассматриваемого сечения 1.
Видим
два усилия: реакцию опоры и
момент M. Однако у силыплечо
практически равно нулю. Поэтомуизгибающий
момент равен:
кН·м.
Здесь знак «плюс» нами взят потому, что внешний момент M изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз. (или потому, что противоположно направлен направлению изгибающего момента по правилу знаков)
Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 2
В отличие от первого сечения, у силы реакциипоявилось плечо, равное а.
поперечная сила:
кН;
изгибающий момент:
Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 3
поперечная сила:
изгибающий момент:
Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 4
Теперь удобнее закрывать листком левую часть балки .
поперечная сила:
изгибающий момент:
Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 5
поперечная сила:
изгибающий момент:
Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 1
поперечная сила и изгибающий момент:
.
По найденным значениям производим построение эпюры поперечных сил (рис. 7.7, б) и изгибающих моментов(рис. 7.7, в).
КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР
Убедимся в правильности построения эпюр по внешним признакам, пользуясь правилами построения эпюр.
Проверка эпюры поперечных сил
Убеждаемся: под незагруженными участками эпюра поперечных сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклоненной вниз прямой. На эпюре продольной силы три скачка: под реакцией– вниз на 15 кН, под силой P – вниз на 20 кН и под реакцией– вверх на 75 кН.
Проверка эпюры изгибающих моментов
На эпюре изгибающих моментов видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой q эпюра изгибающих моментов изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре изгибающего момента – экстремум, поскольку эпюра поперечной силы в этом месте проходит через нулевое значение.
Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1). Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.
Стержни, работающие на изгиб, называют балками .
Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.
Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.
Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.
При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.
Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.
Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.
Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):
Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а), то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б):
а) продольные линии искривляются по длине окружности;
б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;
в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.
На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).
Рис. 6.1
Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называетсянейтральной линией (н. л.) сечения .
Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).
Рис. 6.2
Двумя бесконечно малыми поперечными
сечениями выделим элемент длиной
.
До деформации сечения, ограничивающие
элемент
,
были параллельны между собой (рис. 6.2,
а), а после деформации они несколько
наклонились, образуя угол
.
Длина волокон, лежащих в нейтральном
слое, при изгибе не меняется
.
Обозначим радиус кривизны следа
нейтрального слоя на плоскости чертежа
буквой
.
Определим линейную деформацию
произвольного волокна
,
отстоящего на расстоянии
от нейтрального слоя.
Длина этого волокна после деформации
(длина дуги
)
равна
.
Учитывая, что до деформации все волокна
имели одинаковую длину
,
получим, что абсолютное удлинение
рассматриваемого волокна
Его относительная деформация
Очевидно, что
,
так как длина волокна, лежащего в
нейтральном слое не изменилась. Тогда
после подстановки
получим
(6.2)
Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.
Введем предположение, что при изгибе
продольные волокна не надавливают друг
на друга. При таком предположении каждое
волокно деформируется изолировано,
испытывая простое растяжение или сжатие,
при котором
.
С учетом (6.2)
, (6.3)
т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.
Подставим зависимость (6.3) в выражение
изгибающего момента
в поперечном сечении (6.1)
.
Вспомним, что интеграл
представляет собой момент инерции
сечения относительно оси
.
(6.4)
Зависимость (6.4) представляет собой
закон Гука при изгибе, поскольку она
связывает деформацию (кривизну
нейтрального слоя
)
с действующим в сечении моментом.
Произведение
носит название жесткости сечения при
изгибе, Н·м 2 .
Подставим (6.4) в (6.3)
(6.5)
Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.
Для того, чтобы установить,
где в поперечном сечении находится
нейтральная линия подставим значение
нормальных напряжений в выражение
продольной силы
и изгибающего момента
Поскольку
,
;
(6.6)
(6.7)
Равенство (6.6) указывает, что ось
– нейтральная ось сечения – проходит
через центр тяжести поперечного сечения.
Равенство (6.7) показывает что
и
- главные центральные оси сечения.
Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии
Отношение
представляет собой осевой момент
сопротивления сечения
относительно его центральной оси
,
значит
Значение
для простейших поперечных сечений
следующее:
Для прямоугольного поперечного сечения
, (6.8)
где
-
сторона сечения перпендикулярная оси
;
- сторона сечения параллельная оси
;
Для круглого поперечного сечения
, (6.9)
где
- диаметр круглого поперечного
сечения.
Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде
(6.10)
Все полученные формулы получены для
случая чистого изгиба прямого стержня.
Действие же поперечной силы приводит
к тому, что гипотезы, положенные в основу
выводов, теряют свою силу. Однако практика
расчетов показывает, что и при поперечном
изгибе балок и рам, когда в сечении кроме
изгибающего момента
действует еще продольная
сила
и поперечная сила
,
можно пользоваться формулами,
приведенными для чистого изгиба.
Погрешность при этом получается
незначительной.
Мы начнем с простейшего случая, так называемого чистого изгиба.
Чистый изгиб есть частный случай изгиба, при котором в сечениях балки поперечная сила равна нулю. Чистый изгиб может иметь место только в том случае, когда собственный вес балки настолько мал, что его влиянием можно пренебречь. Для балок на двух опорах примеры нагрузок, вызывающих чистый
изгиб, представлены на рис. 88. На участках этих балок, где Q = 0 и, следовательно, М= const; имеет место чистый изгиб.
Усилия в любом сечении балки при чистом изгибе сводятся к паре сил, плоскость действия которой проходит через ось бал-ки, а момент постоянен.
Напряжения могут быть определены на основании следую-щих соображений.
1. Касательные составляющие усилий по элементарным пло-щадкам в поперечном сечении балки не могут быть приведены к паре сил, плоскость действия которой перпендикулярна к пло-скости сечения. Отсюда следует, что изгибающее усилие в сече-нии является результатом действия по элементарным площадкам
лишь нормальных усилий, а потому при чистом изгибе и напряжения сводятся только к нормальным.
2. Чтобы усилия по элементарным площадкам свелись только к паре сил, среди них должны быть как положительные, так и отрицательные. Поэтому должны существовать как растянутые, так и сжатые волокна балки.
3. Ввиду того, что усилия в различных сечениях одинаковы, то и напряжения в соответственных точках сечений одинаковы.
Рассмотрим какой-либо элемент вблизи поверхности (рис. 89, а). Так как по нижней его грани, совпадающей с по-верхностью балки, силы не приложены, то на ней нет и напря-жений. Поэтому и на верхней грани элемента нет напряжений, так как иначе элемент не находился бы и равновесии, Рассмат-ривая соседний с ним по высоте элемент (рис. 89,б), придем к
Такому же заключению и т. д. Отсюда следует, что по горизон-тальным граням любого элемента напряжения отсутствуют. Рас-сматривая элементы, входящие в состав горизонтального слоя, начиная с элемента у поверхности балки (рис. 90), придем к за-ключению, что и по боковым вертикальным граням любого эле-мента напряжения отсутствуют. Таким образом, напряженное состояние любого элемента (рис. 91,а), а в пределе и волокна, должно быть представлено так, как это показано на рис. 91,б, т. е. оно может быть либо осевым растяжением, либо осевым сжатием.
4. В силу симметрии приложения внешних сил сечение по середине длины балки после деформации должно остаться пло-ским и нормальным к оси балки (рис. 92, а). По этой же причине и сечения в четвертях длины балки тоже остаются плоскими и нормальными к оси балки (рис. 92,б), если только крайние се-чения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси балки. Аналогичное заключение справедливо и для сечений в восьмых длины балки (рис. 92, в) и т. д. Следовательно, если при изгибе крайние сечения балки остаются плоскими, то и для любого сечения остается
справедли-вым утверждение, что оно после де-формации остается плоским и нор-мальным к оси изогнутой балки. Но в таком случае очевидно, что изменение удлинений волокон балки по ее высоте должно происходить не только непре-рывно, но и монотонно. Если назвать слоем совокупность волокон, имеющих одинаковые удлинения, то из сказан-ного следует, что растянутые и сжатые волокна балки должны располагаться по разные стороны от слоя, в котором удлинения волокон равны нулю. Бу-дем называть волокна, удлинения ко-торых равны нулю, нейтральными; слой, состоящий из нейтральных воло-кон, - нейтральным слоем; линию пе-ресечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки - нейтральной линией этого сечения. Тогда на основании предыдущих рассуждений можно утверждать, что при чистом изгибе балки в каждом ее сечении имеется нейтральная линия, которая делит это сечение на две части (зоны): зону растяну-тых волокон (растянутую зону) и зону сжатых волокон (сжа-тую зону). Соответственно с этим в точках растянутой зоны се-чения должны действовать нормальные растягивающие напря-жения, в точках сжатой зоны - сжимающие напряжения, а в точках нейтральной линии напряжения равны нулю.
Таким образом, при чистом изгибе балки постоянного се-чения:
1) в сечениях действуют только нормальные напряжения;
2) все сечение может быть разбито на две части (зоны) - растянутую и сжатую; границей зон является нейтральная линия сечения, в точках которой нормальные напряжения равны нулю;
3) любой продольный элемент балки (в пределе любое во-локно) подвергается осевому растяжению или сжатию, так что соседние волокна друг с другом не взаимодействуют;
4) если крайние сечения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси, то и все ее поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси изогнутой балки.
Напряженное состояние балки при чистом изгибе
Рас-смотрим элемент балки, подверженной чистому изгибу, заклю-
ченный между сечениями m- m и n - n, которые отстоят одно от дру-гого на бесконечно малом расстоя-нии dx (рис. 93). Вследствие по-ложения (4) предыдущего пункта, сечения m- m и n - n, бывшие до деформации параллельными, после изгиба, оставаясь плоскими, будут составлять угол dQ и пересекаться по прямой, проходящей через точ-ку С, которая является центром кривизны нейтрального волокна NN. Тогда заключенная между ними часть АВ волокна, находящегося на расстоянии z от нейтрального во-локна (положительное направление оси z принимаем в сторону выпук-лости балки при изгибе), превра-тится после деформации в дугу А"В".Отрезок нейтрального волокна О1О2, превратившись в дугу О1О2 не изменит своей длины, тогда как волокно АВ получит удлинение:
до деформации
после деформации
где р - радиус кривизны нейтрального волокна.
Поэтому абсолютное удлинение отрезка АВ равно
и относительное удлинение
Так как согласно положению (3) волокно АВ подвергается осевому растяжению, то при упругой деформации
Отсюда видно, что нормальные напряжения по высоте балки распределяются по линейному закону (рис. 94). Так как равно-действующая всех усилий по всем элементарным площадкам се-чения должна равняться нулю, то
откуда, подставляя значение из (5.8), найдем
Но последний интеграл есть статический момент относительно оси Оу, перпендикулярной к плоскости действия изгибающих уси-лий.
Вследствие равен-ства его нулю эта ось должна проходить через центр тяжести О сечения. Тамим образом,нейтраль-ная линия сечения балки есть прямая уу, перпен-дикулярная к плоскости действия изгибающих усилий. Ее называют ней-тральной осью сечения балки. Тогда из (5.8) следует, что напряжения в точках, лежа-щих на одинаковом расстоянии от нейтральной оси, одинаковы.
Случай чистого изгиба, при котором изгибающие усилия действуют только в одной плоскости, вызывая изгиб только в этой плоскости, является плоским чистым изгибом. Если названная плоскость проходит через ось Oz, то момент элементарных уси-лий относительно этой оси должен быть равен нулю, т. е.
Подставляя сюда значение σ из (5.8), находим
Стоящий в левой части этого равенства интеграл, как изве-стно, является центробежным моментом инерции сеченияотноси-тельно осей у и z, так что
Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называют главными осями инерции этого сечения. Если они, кроме того, проходят через центр тяжести сечения, то их можно назвать главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, при плоском чистом изгибе направление плоскости действия изгибающих усилий и нейтраль-ная ось сечения являются главными центральными осями инер-ции последнего. Иными словами, для получения плоского чи-стого изгиба балки нагрузка к ней не может прикладываться произвольно: она должна сводиться к силам, действующим в плоскости, которая проходит через одну из главных центральных осей инерции сечений балки; при этом другая главная централь-ная ось инерции будет являться нейтральной осью сечения.
Как известно, в случае сечения, симметричного относительно какой-либо оси, ось симметрии является одной из главных цент-ральных осей инерции его. Следовательно, в этом частном случае мы заведомо получим чистый изгиб, приложив соответствующие анагрузки в плоскости, проходящей через продольную ось балки я ось симметрии ее сечения. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии и проходящая через центр тяжести сечения, является при этом нейтральной осью этого сечения.
Установив положение нейтральной оси, нетрудно найти и ве-личину напряжения в любой точке сечения. В самом деле, так как сумма моментов элементарных усилий относительно нейт-ральной оси уу должна равняться изгибающему моменту, то
откуда, подставляя значение σ из (5.8), найдем
Так как интеграл 
является. моментом инерции сечения относительно оси уу, то
и из выражения (5.8) получим
Произведение ЕI У называют жесткостью балки при изгибе.
Наибольшее растягивающее и наибольшее по абсолютной величине сжимающее напряжения действуют в точках сечения, для которых абсолютная величина z наибольшая, т. е. в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. При обозначениях, рис. 95 имеем
Величину Jy/h1 называют моментом сопротивления сечения рас-тяжению и обозначают Wyр; аналогично, Jy/h2называют моментом сопротивления сечения сжатию
и обозначают Wyc,так что
и поэтому
Если нейтральная ось является, осью симметрии сечения, то h1 = h2 = h/2 и, следовательно, Wyp = Wyc, так что их различать нет надобности, и пользуются одним обозначением:
называя W y просто моментом сопротивления сечения.Следова-тельно, в случае сечения, симметричного относительно нейтраль-ной оси,
Все приведенные выше выводы получены на основании допу-щения, что поперечные сечения балки, при изгибе остаются пло-скими и нормальными к ее оси (гипотеза плоских сечений). Как было показано, это допущение справедливо только в том случае, когда крайние (концевые) сечения балки при изгибе остаются плоскими. С другой стороны, из гипотезы плоских сечений сле-дует, что элементарные усилия в таких сечениях должны распре-деляться по линейному закону. Поэтому для справедливости по-лученной теории плоского чистого изгиба необходимо, чтобы из-гибающие моменты на концах балки были приложены в виде элементарных сил, распределенных по высоте сечения по линей-ному закону (рис. 96), совпадающему с законом распределения напряжений по высоте сечения балки. Однако на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что изменение способа приложения изгибающих моментов на концах балки вызовет лишь местные деформации, влияние которых скажется лишь на некотором расстоянии от этих концов (приблизительно равном высоте сечения). Сечения же, находящиеся во всей остальной части длины балки, останутся плоскими. Следовательно, изложенная теория плоского чистого изгиба при любом способе приложения изгибающих моментов справедлива только в пределах средней части длины балки, находящейся от ее концов на расстояниях, при-близительно равных высоте сечения. Отсюда ясно, что эта тео-рия заведомо неприменима, если высота сечения превосходит половину длины или пролета балки.
