Реферат: Интегральное исчисление. Исторический очерк. История интегрального исчисления

Формула интегрирования по частям:

где функции и(х)и v(x)имеют на отрезке [ а, b ]интегрируемые производные.

Формула Ньютона - Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к отысканию значений его первообразной. Поскольку задача отыскания первообразной является сама по себе сложной, то большое значение имеют другие методы нахождения определенных интегралов, среди к-рых прежде всего следует отметить, метод вычетов и метод дифференцирования и интегрирования по параметру зависящих от параметров интегралов. Разрабатываются также численные методы приближенного вычисления интегралов.

Обобщение понятия интеграла на случай неограниченных функций и случай неограниченного промежутка приводит к понятию несобственного интеграла, к-рый определяется при помощи еще одного дополнительного предельного перехода.

Понятия неопределенного и определенного интегралов переносятся на комплекснозначные функции. Представление любой регулярной функции комплексного переменного в виде Коши интеграла по контуру сыграло важную роль в развитии теории аналитич. функций.

Обобщение понятия определенного, интеграла от функции одного переменного на случай функций многих переменных приводит к понятию кратного интеграла.

Для неограниченных множеств и неограниченных функций многих переменных, также как и в одномерном случае, вводится понятие несобственного интеграла.

Расширение практич. использования И. и. обусловило введение понятий криволинейного интеграла - интеграла по кривой, поверхностного интеграла - интеграла по поверхности и вообще - интеграла по многообразиям, сводимых в нек-ром смысле к определенному интегралу ( - к интегралу по отрезку, поверхностный - к интегралу по области (плоской), интеграл по n-мерному многообразию - к интегралу по n-мерной области). Интегралы по многообразиям, в частности криволинейные и поверхностные, играют важную роль в И. и. функций многих переменных; с их помощью можно установить связь между интегрированием по области и ее границе или, в общем случае, по многообразию и его краю. Эта связь устанавливается Стокса формулой (см. также Остроградского формула, Грина формулы ), являющейся обобщением на многомерный случай формулы Ньютона - Лейбница.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы находят непосредственное применение в математич. физике, в частности в теории поля. Кратные интегралы и связанные с ними понятия широко используются при решении конкретных прикладных задач. Для численного вычисления кратных интегралов разработана теория кубатурных формул.

Теория и методы И. и. числовых функций конечного числа переменных переносятся и на более общие объекты. Напр., теория интегрирования функций, значения к-рых принадлежат линейным нормированным пространствам, функций, заданных на топологич. группах, обобщенных функций и функций бесконечного числа переменных (). Наконец, новое И. и. связано также с появлением и развитием конструктивной математики.

И. и. применяется во многих разделах математики (в теории дифференциальных и интегральных уравнений, в теории вероятностей и математич. статистике, в теории оптимальных процессов и др.), и в ее приложениях.

Лит. :см. - при статье Дифференциальное исчисление, а также к разделу "Работы основоположников и классиков...": Архимед, Сочинения, М., 1962; Кеплер И., Новая стереометрия винных бочек, [пер. с латин.], М.- Л., 1934; Кавальери Б., Геометрия..., [пер. с латин.], М.- Л., 1940; Эйлер Л., Интегральное , пер. с латин., т. 1 - 3, М., 1956-58.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ" в других словарях:

Интегральное исчисление - Интегральное исчисление. Построение интегральных сумм для вычисления определенного интеграла непрерывной функции f(x), график которой кривая MN. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г … Большой Энциклопедический словарь

Отдел высшей математики, учение о действиях, противоположных дифференциальному вычислению, а именно об определении зависимости между несколькими переменными величинами по данному дифференциальному уравнению из них. Таким образом, находится… … Словарь иностранных слов русского языка

Материал из Юнциклопедии

Интегральное исчисление - это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них-физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F(х) ее производную F"(x)=f(x). Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции f(х), найти такую функцию F(х), производной которой является функция f(х), т. е. f(х) = F"(х). Такая функция называется первообразной функции f(х).

Значит, обратная дифференцированию операция - неопределенное интегрирование - состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией F(x), первообразной для функции f(х), очевидно, будет также любая функция ℱ(х) = F(х) + С, отличающаяся от F(х) постоянным слагаемым С; ведь ℱ"(х) = F(х) = f(х).

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию - производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если ℱ"(х) = F(х) на каком-то промежутке а<х

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции f(х) обозначают символом

где знак ∫ читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

∫ f(x) dx = F(x) + C, (1)

где F(x) - какая-то первообразная функции f(х) на данном промежутке, а С-произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

∫ 2х dx = х 2 + С; ∫ cos у dy = sin у + С; ∫ sin z dz = -cos z + С.

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: х, у, z, чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции 2х, cos y, sin z соответственно.

Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:

(∫f(x)dx)" = f(х),

d(∫f(x)dx) = f(x)dx,

∫F"(x)dx = F(x) + C,

∫dF(x) = F(x) + C.

Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:

∫сf(х)dx = с∫f(х)dx (вынесение постоянного множителя);

∫(f(x) + g(х))dx = ∫f(x)dx + ∫g(х)dx (интегрирование суммы);

∫f(x)dx = F (х) + С, то

∫f(φ(t))φ"(t)dt = F(φ(t)) + C (замена переменной).

Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение д свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть s(t)~ координата нашего тела в момент t. Нам известно, таким образом, что s"(t)=g и g-постоянная. Требуется найти функцию s(t) - закон движения.

Поскольку g = v"(t), где v(t) = s"(t), то, последовательно интегрируя, находим

v(t) = ∫gdt = ∫1 dt = g t + C 1 (2)

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(g t + C 1)dt = ∫g tdt + ∫C 1 dt = g∫tdt + C 1 ∫1 dt = gt 2 /2 + C 1 t + C 2 .

Итак, мы нашли, что

s(t) = gt 2 /2 + C 1 t + C 2 , (3)

где C 1 и C 2 - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных C 1 , и C 2 . Если сравнить крайние члены соотношения (2) при t = 0, то выяснится, что C 1 = v(0), а из (3) при t = 0 получается, что C 2 = s(0). Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения

s(t) = gt 2 /2 + v 0 t + s 0

вполне определится, если указать начальное положение s 0 = s(0) и начальную скорость v 0 = v(0) тела. В частности, если d 0 = 0 и s 0 = 0, получаем s(t) = gt 2 /2.

Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т. е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная

∫((sin х)/x)dx

элементарной функции (sin х)/х (называемая интегральным синусом и обозначаемая специальным символом si(x)), как можно доказать, не выражается в элементарных функциях. Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Интегрирование часто является источником введения важных и широко используемых специальных функций, которые изучены ничуть не хуже таких «школьных» функций, как х 2 или sin х, хотя и не входят в список элементарных функций.

Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций:

∫x n dx = 1/(n+1) x n+1 + С при n ≠ -1;

∫cos x dx = -sin x + С;

∫sin x dx = -cos x + С;

∫ dx/cos 2 x = tg x + С;

∫dx/sin 2 x = -ctg x + C.

Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интетрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книд-ского (примерно 408-355 до н.э.) и Архимеда, т.е. он возник задолго до появления дифференциального исчисления и операции дифференцирования.

Вопрос, который рассматривали Евдокс и Архимед, создав при его решении «метод исчерпывания», предвосхитивший понятие интеграла,-это вопрос о вычислении площади криволинейной фигуры. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Ньютоном, следующую задачу: по известной в любой момент t из промежутка времени a≤t≤b скорости v(t) тела найти величину перемещения тела за этот промежуток времени.

Если бы был известен закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью s(b) - s(а). Более того, если бы мы знали какую-либо первообразную s̃(0) функции v(t) на промежутке [а;b] то, поскольку s̃(t) = s(t) + С, где С - постоянная, можно было бы найти искомую величину перемещения в виде разности s̃(b) - s(а), которая совпадает с разностью s (b) - s (я). Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции v(t) указать не удается, то действовать приходится совсем иначе.

Будем рассуждать следующим образом.

Если промежуток [а;b] отдельными моментами t 0 , t 1 , ..., t n , такими, что а = t 0 < t 1 < ... < t n = b, разбить на очень мелкие временные промежутки , i = 1, 2, ..., n, то на каждом из этих коротких промежутков скорость v(t) тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент τ i ∈ , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью v(τ i). В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени получаем приближенное значение v(τ i) ∆t i , где ∆t i = t i - t i-1 . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

v(τ 1) ∆t 1 + v(τ 2) ∆t 2 + ... + v(τ n) ∆t n (4)

для всего перемещения на промежутке .

Найденное приближенное значение тем точнее, чем более мелкое разбиение промежутка мы произведем, т.е. чем меньше будет величина ∆ наибольшего из промежутков , на которые разбит промежуток .

Значит, искомая нами величина перемещения есть предел

lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i (5)

сумм вида (4), когда величина ∆ стремится к нулю.

Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции v(t) на промежутке , а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции v(t) на промежутке . Интеграл обозначается символом

в котором числа а, b называются пределами интегрирования, причем а-нижним, а b-верхним пределом интегрирования; функция v(t), стоящая под знаком ∫ интеграла, называется подынтегральной функцией; v(t)dt - подынтегральным выражением; t-переменной интегрирования.

Итак, по определению,

∫ a b v(t)dt = lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i . (6)

Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток при известной скорости v(t) движения выражается интегралом (6) от функции v(t) по промежутку .

Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:

∫ a b v(t)dt = s(b)-s(a), (7)

если v(t) = s"(t). Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой-разность значений (в концах b и a промежутка интегрирования) функции s(t), первообразной подынтегральной функции v(t). Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

Интеграл (6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так, если v(t) = gt (как это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя, т.е. с v(0) = 0), то, найдя первообразную s(t) = gt 2 /2 + С функции v(t) = g t по формуле (7), получаем величину

∫ a b gt dt = gb 2 /2 - ga 2 /2

перемещения за время, прошедшее от момента a до момента b.

На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке а ≤ х ≤ b задана функция f(х), то, разбивая промежуток [а;b] точками а = х 0 < x 1 < ... < х n = b, составляя интегральные суммы

f(ξ 1) ∆x 1 + f(ξ 2) ∆x 2 + ... + f(ξ n) ∆x n , (4")

где ξ i ∈ , ∆x i = x i - x i-1 , и переходя к пределу при ∆→0, где ∆ = max {∆x 1 , ∆x 2 , ..., ∆x n }, мы получаем по определению интеграл

∫ a b f(x) dx = lim ∆→0 ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i (6")

от функции f(х) по промежутку . Если при этом F"(x)=f(x) на , т.е. F(x) - первообразная функции f(х) на промежутке , то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

∫ a b F(x) dx = F(b) - F(а). (7")

Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.

Пусть требуется найти площадь S изображенной на рис. 1 фигуры aABb (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона» АВ которой есть график заданной на отрезке функции у =f(х). Точками а = х 0 < х 1 < ... < х n = b разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку ξ i ∈ . Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , заменим приближенно площадью f(ξ i)(x i-1 - x i) = f(ξ i)∆x i соответствующего прямоугольника с основанием и высотой f(ξ i). В таком случае приближенное значение площади S всей фигуры aABb даст знакомая нам интегральная сумма ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i , а точное значение искомой площади S получится как предел таких сумм, когда длина ∆ наибольшего из отрезков разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:

∫ a b f(x) dx. (8)

Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола у = х 2 делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь S нижнего параболического треугольника. В нашем случае = и f(х) = х 2 . Нам известна первообразная F(x) = x 3 /3 функции f(х) = х 2 , значит, можно воспользоваться формулой (7") Ньютона-Лейбница и без труда получить

S = ∫ 0 1 х 2 dx = 1/3 1 3 - 1/3 0 3 = 1/3.

Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.

При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что а = φ(α), b = φ(β), с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что

∫ a b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(φ(β)) - F(φ(α)) = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt,

и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:

∫ a b f(x) dx = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt (9)

С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию aABb вращать вокруг оси Ох, то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде πf 2 ξ i ∆x i , (произведение площади πf 2 ξ i основания на высоту ∆x i). Сумма πf 2 ξ 1 ∆x 1 + πf 2 ξ 2 ∆x 2 + ... + πf 2 ξ n ∆x n дает приближенное значение объема V рассматриваемого тела вращения. Точное значение V получится как предел таких сумм при ∆→0. Значит,

V = π∫ a b f 2 (x) dx. (10)

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) а = 0, b = h и f(х) = kх, где k - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную k 2 x 3 /3 функции f 2 (x) = k 2 x 2 и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

V = π∫ 0 h k 2 x 2 dx = π(k 2 h 3 /3 - k 2 0 3 /3)

= π(kh) 2 h/3 = Sh/3,

где S = π(kh) 2 площадь круга, лежащего в основании конуса.

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость V, до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть m-масса тела, М-масса планеты. Кинетической энергии mv 2 /2, которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии r от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна

где G - гравитационная постоянная. Таким образом, эта сила меняется, причем ослабевает по мере удаления от планеты.

Вычислим работу A R R 0 , которую нужно совершить, чтобы тело, находящееся на высоте R 0 (считая от центра планеты), поднять на высоту R.

Если бы сила была постоянна, то мы просто умножили бы ее величину на длину R - R 0 пройденного вдоль направления ее действия пути и нашли бы совершенную работу. Но сила меняется, поэтому мы разобьем весь промежуток точками R 0 = r 0 < 1 < ... < r n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

G mM/r i 2 (r i - r i-1) = G mM/r i 2 ∆r i

на каждом из промежутков ; сложив элементарные работы

G mM/r 1 2 ∆r 1 + G mM/r 2 2 ∆r 2 + ... + G mM/r n 2 ∆r n

получим приближенное значение искомой работы A R R 0 на промежутке , а точнее значение A R R 0 выражается, таким образом, следующим интегралом:

A R R 0 = ∫ R R 0 G mM/r 2 dr

в котором роль переменной интегрирования играет r. Величины G, m, M постоянны, а функция r -2 имеет первообразную -r -1 , зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим

A R R 0 = GmM (1/R 0 - 1/R).

Если R увеличивать неограниченно, т.е., как говорят, удалять тело на бесконечность, то, переходя к пределу при R → ∞, получаем

A ∞ R 0 = GmM/R 0 ,

где ∞-символ, читаемый «бесконечность». Если в последней формуле считать, что R 0 -радиус планеты, то A ∞ R 0 будет работой, которую надо совершить против сил тяготения, чтобы тело с поверхности планеты ушло в бесконечность.

Полученное для A ∞ R 0 выражение можно упростить, если вспомнить другой закон Ньютона F = ma, связывающий силу F и вызванное ею ускорение a тела массы m. Свободно падающее на планету тело у ее поверхности имеет ускорение а = g, вызванное силой притяжения

где R 0 - радиус планеты. Значит,

GmM/R 0 2 = mg, откуда следует, что

GmM/R 0 2 = g и, значит A ∞ R 0 = mGR 0 .

Это и есть формула для подсчета работы, необходимой для выхода из поля притяжения планеты. Для «ухода» с планеты по инерции нужно иметь вертикальную скорость v, при которой кинетическая энергия mv 2 /2 тела не меньше или, по крайней мере, равна работе затрачиваемой на преодоление притяжения планеты.

Таким образом, вторая космическая скорость, получаемая из равенства mv 2 /2 = mgR 0 , выражается в виде

В частности, для Земли g ≈ 10 м/с 2 , R 0 ≈ 6 400 000 м, поэтому v ≈ 8000 √2 м/с, или v ≈ 11,2 км/с.

Во всех разобранных до сих пор примерах мы использовали первообразную, чтобы по формуле (7") Ньютона Лейбница вычислить интересовавший нас интеграл. Но та же формула Ньютона-Лейбница наводит на мысль использовать сам интеграл для нахождения первообразной или, по крайней мере, для выяснения принципиального вопроса о ее существовании. Этого вопроса мы уже коснулись в разделе, посвященном первообразной и неопределенному интегралу. Теперь мы рассмотрим его несколько внимательнее.

Пусть на отрезке задана функция f, график которой изображен линией AB на рис. 5. Мы знаем, что площадь всей криволинейной трапеции aABb выражается интегралом (8). Обозначим через ℱ(х) площадь той ее части, которая лежит над отрезком [а;х].

ℱ(x)=∫ a x f(x)dt. (11)

Здесь мы обозначили переменную интегрирования через t, чтобы не путать ее с х, являющимся в нашем случае верхним пределом интегрирования.

Величина ℱ(x), очевидно, зависит от точки x∈.

Покажем, что ℱ(x) - первообразная функции f(х) на отрезке , т.е. ℱ"(x)=f(х) при x∈. В самом деле, как видно из рис. 5,

ℱ(x+h) - ℱ(x) ≈ f(x) h,

что равносильно приближенному равенству

(ℱ(x+h) - ℱ(x))/h ≈ f(x)

При уменьшении величины h точность этого соотношения только улучшается, поэтому

lim h→0 (ℱ(x+h) - ℱ(x))/h = f(x)

и, значит,

Таким образом, интеграл (11) с переменным верхним пределом х дает нам первообразную функции f(х). Среди всех прочих первообразных функции f(х) на отрезке эта первообразная выделяется очевидным условием ℱ(a) = 0. Поскольку интеграл, согласно его определению (6"), можно вычислить с любой наперед заданной точностью, то и значение ℱ(х) первообразной (11) функции f(х) в любой точке x∈ можно найти сколь угодно точно, даже не интересуясь при этом аналитической записью ℱ(х) или вопросом о том, является ли ℱ(х) элементарной функцией.

Существуют простые и очень эффективные численные методы интегрирования - это так называемые квадратурные формулы. Они позволяют на электронных вычислительных машинах за доли секунды получать значения определенных интегралов. Это обстоятельство делает формулу (11) средством отыскания первообразной. Например, современные подводные лодки порой месяцами находятся на большой глубине и перемещаются на огромные расстояния; не имея никакой связи с внешним миром, они тем не менее выходят в точно заданный квадрат. Навигационное оборудование, которое позволяет определять координаты лодки в любой момент, является технической реализацией формулы (11) и основано на таком физическом принципе. Находясь в закрытом движущемся помещении (хорошо звукоизолированном мягком вагоне, самолете и т.д.), мы не ощущаем скорости движения, но зато определенно чувствуем изменение скорости-ускорение. Оно положительно при увеличении скорости, когда масса вдавливает вас в самолетное кресло, и отрицательно при торможении, когда вам могут пригодиться даже пристяжные ремни. Поскольку между ускорением а массы m и вызывающей его силой F имеется прямая пропорциональная зависимость F = mа, величину а укорения можно объективно измерять, закрепив массу m на свободном конце пружинки, расположенной вдоль направления движения, и соединив жестко второй ее конец, например, с задней стенкой движущегося помещения. Если растяжение и сжатие пружины пропорционально действующей на нее силе, то по величине отклонения массы m от положения равновесия можно узнавать величину a(t) ускорения, происходящего в данном направлении в любой момент времени t.

Если движение начиналось с нулевой начальной скоростью, то, зная a(t), можно по формуле (11) найти сначала скорость v(t) движения, а зная v(t), найти и перемещение s(t) в этом направлении к моменту и поскольку

v(t) = ∫ 0 t a(u) du, a s(t) = ∫ 0 t v(u) du.

Обработка показаний приборов и вычисление этих интегралов выполняется электронной вычислительной машиной. Если есть три датчика ускорения, удерживаемых (например, гироскопами) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то вы можете в любой момент знать ваше перемещение по каждому из указанных направлений и тем самым определить все три ваши координаты в некоторой системе координат, началом которой является точка старта-база, аэродром, космодром.

Интегральное исчисление

раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.

Определённый интеграл. Пусть требуется вычислить площадь S «криволинейной трапеции» - фигуры ABCD (см. рис. ), ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение которой у = f (x ), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и BC. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок [a , b ]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками а = x 0 x 1 x n-1 x n = b , обозначая длины этих участков Δx 1 , Δx 2 , ..., Δx n ; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами f (ξ 1), f (ξ 2), ..., f (ξ n ) где ξ k - некоторая точка из отрезка [x k - 1 , x k ] (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; f (ξ k) - его высота). Сумма S n площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади S криволинейной трапеции:

S ≈ S n = f (ξ 1) Δx 1 + f (ξ 2) Δx 2 + f (ξ n ) Δx n

или, применяя для сокращения записи символ суммы Σ (греческая буква «сигма»):

Указанное выражение для площади криволинейной трапеции тем точнее, чем меньше длины Δx k участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S надо найти Предел сумм S n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин Δx k стремится к нулю.

Отвлекаясь от геометрического содержания рассмотренной задачи, приходят к понятию определённого интеграла от функции f (x ), непрерывной на отрезке [а, b ], как к пределу интегральных сумм S n при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается

Символ ∫ (удлинённое S - первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, f (x ) - подинтегральной функцией, числа а и b называются нижним и верхним пределами определённого интеграла. Если а = b , то, по определению, полагают

Свойства определённого интеграла:

(k - постоянная). Очевидно также, что

К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении площадей, ограниченных кривыми (задачи «нахождения квадратур»), длин дуг кривых («спрямление кривых»), площадей поверхностей тел, объёмов тел («нахождение кубатур»), а также задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой, и многие другие задачи естествознания и техники. Например, длина дуги плоской кривой, заданной уравнением у = f (x ) на отрезке [a , b ], выражается интегралом

объём тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox ,- интегралом

Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определённый интеграл можно найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход к пределу затруднителен. Некоторые определённые интегралы удаётся вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя различные Квадратурные формулы (например, трапеций формулу (См. Трапеций формула), Симпсона формулу (См. Симпсона формула)). Такое приближённое вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют графические методы (см. Графические вычисления).

Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на некоторые классы неограниченных функций. Такие обобщения называются несобственными интегралами (См. Несобственные интегралы).

Выражения вида

где функция f (x , α) непрерывна по x называются интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (См. Специальные функции) (см., например, Гамма-функция).

Неопределённый интеграл. Нахождение неопределённых интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции ищется её производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная (или примитивная) функция - такая функция, производная которой равна данной функции. Таким образом, функция F (x ) является первообразной для данной функции f (x ), если F" (x ) = f (x ) или, что то же самое, dF (x ) = f (x ) dx. Данная функция f (x ) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для f (x ) содержатся в выражении F (x ) + С , которое называют неопределённым интегралом от функции f (x ) и записывают

Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования

Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами

Отсюда следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где C , m , a , k - постоянные и m ≠ -1, а > 0).

Таблица основных интегралов и правил интегрирования

Трудность И. и. по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, «в конечном виде». И. и. располагает лишь отдельными приёмами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из которых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках математического анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).

К классу функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций

где P (x ) и Q (x ) - многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, например функции, рационально зависящие от

или же от x и рациональных степеней дроби

В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, например рациональные функции синуса и косинуса. Функции, которые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., например, Интегральный логарифм , Интегральный синус и интегральный косинус , Интегральная показательная функция).

Историческая справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи И. и. в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл Исчерпывания метод , созданный Евдоксом Книдским (См. Евдокс Книдский) и широко применявшийся Архимед ом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма И. и. Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9-15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в И. и. они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный «неделимых» метод (См. Неделимых метод) был возрожден И. Кеплер ом. В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери , Э. Торричелли , Дж. Валлис ом, Б. Паскалем (См. Паскаль). Методом «неделимых» был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n -й степени, а затем - работы Х. Гюйгенс а по спрямлению кривых.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо друг от друга И. Ньютон ом и Г. Лейбниц ем. Последнему принадлежит термин «интегральное исчисление» и обозначение интеграла ∫ydx.

При этом в работах Ньютона основную роль играло понятие неопределённого интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление), тогда как Лейбниц исходил из понятия определённого интеграла. Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И. Бернулли и особенно Л. Эйлер а. В начале 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в 19 в. приняли участие русские математики М. В. Остроградский , В. Я. Буняковский , П. Л. Чебышев . В конце 19 - начале 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению основных понятий И. и. (Б. Риман , А. Лебег и др.).

Лит.: История. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строек Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

Работы основоположников и классиков И. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.-Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с. латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Эйлер Л., Интегральное исчисление, пер. с латин., тт. 1-3, М., 1956-58; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

Учебники и учебные пособия по И. и. Хинчин Д. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Ильин В., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Двайт Г.-Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, пер. с англ., М., 1964.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Интегральное исчисление" в других словарях:

Интегральное исчисление - Интегральное исчисление. Построение интегральных сумм для вычисления определенного интеграла непрерывной функции f(x), график которой кривая MN. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г … Большой Энциклопедический словарь

Отдел высшей математики, учение о действиях, противоположных дифференциальному вычислению, а именно об определении зависимости между несколькими переменными величинами по данному дифференциальному уравнению из них. Таким образом, находится… … Словарь иностранных слов русского языка

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, см. ИСЧИСЛЕНИЕ … Научно-технический энциклопедический словарь