Как извлекается корень квадратный из больших чисел. Извлечение корня квадратного

Соколов Лев Владимирович, учащийся 8 класса МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»

Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Районная научно-практическая конференция

обучающихся Тугулымского городского округа

Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора

Исполнитель: Лев Соколов,

МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»,

8 класс

Руководитель: Сидорова Татьяна

Николаевна

р.п. Тугулым, 2016 г.

Введение 3

Глава 1. Способ разложения на простые множители 4

Глава 2. Извлечение квадратного корня уголком 4

Глава 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 6

Глава 4. Формула Древнего Вавилона 6

Глава 6. Канадский метод 7

Глава 7. Метод подбора угадыванием 8

Глава 8 . Метод вычетов нечётного числа 8

Заключение 10

Список литературы 11

Приложение 12

Введение

Актуальность исследования, когда я изучал тему квадратные корни в этом учебном году, то меня заинтересовал вопрос, как можно извлечь квадратный корень из больших чисел без калькулятора.

Я заинтересовался и решил изучить этот вопрос глубже, чем он изложен в школьной программе, а также приготовить мини-книжечку с наиболее простыми способами извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.

Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.

Задачи:

1. Изучить литературу по данному вопросу.
2. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.
3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить

Степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.

1. Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.

Объект исследования: математические символы – квадратные корни.

Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

1. Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.
2. Сравнение найденных способов.
3. Анализ полученных способов.

Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это очень сложная

задача. Когда нет под рукой калькулятора, то начинаем методом подбора стараться вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда помогает. Например, таблица квадратов целых чисел не даёт ответ на такие вопросы, как, например, извлечь корень из 75, 37,885,108,18061 и другие даже приблизительно.

Также часто на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ пользование калькулятором запрещено и нет

таблицы квадратов целых чисел, а надо извлечь корень из 3136 или 7056 и т.д.

Но изучая литературу по данной теме, я узнал, что извлекать корни из таких чисел

возможно и без таблицы и калькулятора, люди научились задолго до изобретения микрокалькулятора. Исследуя эту тему, я нашел несколько способов решения данной проблемы.

Глава 1. Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

Таким способом принято пользоваться при решении заданий с корнями в школе.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84

Многие применяют его успешно и считают единственным. Извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 209764? Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙52441. А как быть дальше? С этой задачей сталкиваются все, и спокойно в ответе записывают остаток от разложения под знак корня. Методом проб и ошибок, подбором разложение, конечно, можно сделать, если быть уверенным в том, что получится красивый ответ, но практика показывает, что очень редко предлагаются задания с полным разложением. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь.

Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора.

Глава 2. Извлечение квадратного корня уголком

Для извлечения квадратного корня уголком и рассмотрим алгоритм:
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем с недостатком. Цифра 9 –это первая цифра корня.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (9 2 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86- 81=5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг . Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем-18

К числу нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.

Пприведу еще пример: извлечь √212521

Глава 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел

Про этот способ я узнал из Интернета. Способ очень простой и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100 с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.

(Она есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ОГЭ предлагается в качестве справочного материала.)

Откройте таблицу и проверьте скорость нахождения ответа. Но сначала несколько рекомендаций: самый левый столбик – это будут в ответе целые, самая верхняя строчка – это десятые в ответе. А дальше всё просто: закройте две последние цифры числа в таблице и найдите нужное вам, не превосходящее подкоренное число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.

Рассмотрим на примере. Найдём значение √87.

Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 87 – таких только два 86 49 и 88 37. Но 88 – это уже много.

Значит, остаётся только одно – 8649.

Левый столбик даёт ответ 9 (это целых), а верхняя строчка 3 (это десятых). Значит √87≈ 9,3. Проверим на МК √87 ≈ 9,327379.

Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

Глава 4. Формула Древнего Вавилона

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью МК 5,2915026.

Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

Глава 5. Способ отбрасывания полного квадрата

(только у четырехзначных чисел)

Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.

1. Извлечение корней до числа 75 2 = 5625

Например: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Число 3844 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 144, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (37) прибавляем всегда 25 . Получим ответ 62.

Так можно извлекать только квадратные корни до числа 75 2 =5625!

2) Извлечение корней после числа 75 2 = 5625

Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 75 2 =5625?

Например: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Поясним,7225 представим в виде суммы 7000 и выделенного квадрата 225. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 225, равный 15.

Получим ответ 85.

Этот способ нахождения очень интересен и в какой – то мере оригинален, но в ходе моего исследования встретился только один раз в работе пермского преподавател.

Возможно, он мало изучен или имеет какие – то исключения.

Он достаточно сложен в запоминании из – за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней, но я проработал множество примеров и убедился в его правильности. Кроме всего этот способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от 11 до 29, ведь без их знания он будет бесполезен.

Глава 6. Канадский метод

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), гдеX - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 75

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

При детальном изучении этого метода легко можно доказать его сходство с вавилонским и поспорить за авторские права изобретения этой формулы, если такие есть в действительности. Метод несложный и удобный.

Глава 7. Метод подбора угадыванием

Этот метод предлагают английские студенты математического колледжа Лондона, но каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом. Он основан на подборе разных значений квадратов близких чисел путём сужения области поиска. Овладеть этим способом может каждый, но вот пользоваться вряд ли, потому что он требует многократного вычисления произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел. Этот способ проигрывает и в красоте решения, и по времени. Алгоритм прост:

Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 75.

Так как 8 2 = 64 и 9 2 = 81, вы знаете, ответ находится где-то между ними.

Попробуйте возвести 8,5 2 и вы получите 72,25 (слишком мало)

Теперь попробуйте 8,6 2 и вы получите 73,96 (слишком небольшой, но все ближе)

Теперь попробуйте 8,7 2 и вы получите 75,69 (слишком большая)

Теперь вы знаете, ответ находится между 8,6 и 8,7

Попробуйте возвести 8,65 2 и вы получите 74,8225 (слишком мало)

Теперь попробуйте 8,66 2 ... и так далее.

Продолжайте, пока не получите ответ достаточно точный для вас.

Глава 8. Метод вычетов нечётного числа

Многие знают метод извлечения квадратного корня разложением числа на простые множители. В своей работе представлю ещё один способ, с помощью которого можно узнать целую часть квадратного корня числа. Способ очень простой. Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 и т.д.

Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.

Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.

Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.

Еще пример: найдём √529

Решение: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Ответ: √529 = 23

Ученые называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа, например, 5963364 этим способом и вы поймёте, что он «работает», безусловно, без погрешностей для точных корней, но очень - очень длинный в решёнии.

Заключение

Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от калькулятора.

В результате проведённого исследования я пришел к выводу: различные способы извлечения квадратного корня без калькулятора необходимы в школьном курсе математики, чтобы развивать навыки вычислений.

Теоретическая значимость исследования – систематизированы основные методы извлечения квадратных корней.

Практическая значимость: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами (Приложение1).

Литература и сайты Интернета:

1. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990
2. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980
3. Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя.

–М.:Просвещение,1987

1. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1979
2. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.
3. Жохов В.И., Погодин В.Н. Справочные таблицы по математике.-М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС», 2004.-120 с.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

Добрый день, уважаемые гости!

Меня зовут Лев Соколов, я учусь в 8 классе в вечерней школе.

Представляю вашему вниманию работу на тему: « Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора».

При изучении темы квадратные корни в этом учебном году, меня заинтересовал вопрос, как можно извлечь квадратный корень из больших чисел без калькулятора и я решил изучить его глубже, так как на следующий год мне предстоит сдавать экзамен по математике.

Цель моей работы: найти и показать способы извлечения квадратных корней без калькулятора

Для достижения цели я решал следующие задачи:

1. Изучить литературу по данному вопросу.

2. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.

3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.

4.Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.

Объектом моего исследования стали квадратные корни.

Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

1. Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.

2. Сравнение и анализ найденных способов.

Я нашел и изучил 8 способов извлечения квадратных корней без калькулятора и отработал их на практике. Название найденных способов приведены на слайде.

Я остановлюсь на тех из них, которые мне понравились.

Покажу на примере, как можно способом разложения на простые множители извлечь квадратный корень из числа 3025.

Основной недостаток этого способа - он занимает много времени.

С помощью формулы Древнего Вавилона я извлеку квадратный корень из этого же числа 3025.

Способ удобен только для малых чисел.

Из этого же числа 3025 извлекаем квадратный корень уголком.

На мой взгляд, это самый универсальный способ, он применим к любым числам.

В современной науке известно много способов извлечения квадратного корня без калькулятора, но я изучил не все.

Практическая значимость моей работы: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами.

Результаты моей работы могут успешно применяться на уроках математики, физики и других предметах, где требуется извлечение корней без калькулятора.

Спасибо за внимание!

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора Исполнитель: Лев Соколов, МКОУ « Тугулымская В(С)ОШ»,8 класс Руководитель: Сидорова Татьяна Николаевна I категория, учитель математики р.п. Тугулым

Правильному применению методов можно научиться, применяя и на разнообразных примерах. Г. Цейтен Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора. Задачи: - Изучить литературу по данному вопросу. - Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм. - Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов. - Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.

Объект исследования: квадратные корни Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора. Методы исследования: Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора. Сравнение найденных способов. Анализ полученных способов.

Способы извлечения квадратного корня: 1. Способ разложения на простые множители 2. Извлечение квадратного корня уголком 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 4. Формула Древнего Вавилона 5. Способ отбрасывания полного квадрата 6. Канадский метод 7. Метод подбора угадыванием 8. Метод вычетов нечётного числа

Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 441│3 98│2 147│3 √209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56. √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Не всегда легко можно разложить, чаще до конца не извлекается, занимает много времени.

Формула Древнего Вавилона (Вавилонский метод) Алгоритм извлечения квадратного корня древневавилонским способом. 1 . Представить число с в виде суммы а ² + b , где а ² ближайший к числу с точный квадрат натурального числа а (а ² ≈ с); 2. Приближенное значение корня вычисляется по формуле: Результат извлечения корня с помощью калькулятора равен 5,292.

Извлечение квадратного корня уголком Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.

Алгоритм извлечения квадратного корня уголком 1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64) 2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (- число 2). Так мы получаем первую цифру числа. 3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4). 4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1). 5.Сносим следующие две цифры (получили число 196). 6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4). 7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &. 8. Находим разность (196-176=20). 9. Сносим следующую группу (получаем число 2033). 10. Удваиваем число 24, получаем 48. 11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа. Далее процесс повторяется.

Метод вычетов нечётного числа (арифметический способ) Алгоритм извлечения квадратного корня: Вычитать нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитать количество выполненных действий – это число есть целаячасть числа извлекаемого квадратного корня. Пример 1: вычислить 1. 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. Выполнено 3 действия

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Общее количество вычитаний = 11, поэтому квадратный корень из 121 = 11. 5963364 = ??? Российские учёные «за глаза» называют его «методом черепахи» из-за его медлительности. Он неудобен для больших чисел.

Теоретическая значимость исследования – систематизированы основные методы извлечения квадратных корней. Практическая значимость: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами.

Спасибо за внимание!

Предварительный просмотр:

При решении некоторых задач потребуется извлечь квадратный корень из крупного числа. Как это сделать?

Метод вычетов нечётного числа.

Способ очень простой. Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 и т.д.

Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.

Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.

Канадский метод.

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Пример. Извлечь квадратный корень из 75.

X = 75, S = 81. Это означает, что √ S = 9.

Просчитаем по этой формуле √75: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙ 9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Способ извлечения квадратного корня уголком.

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы ( - число 2). Так мы получаем первую цифру числа.

3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81.

Метод подбора.

Пример: Извлечь корень из числа 676 .

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √ 676 = 26.

Еще пример: √6889 .

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83 .

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025 .

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Вавилонский метод.

Шаг №1. Представить число х в виде суммы: х=а 2 + b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а.

Шаг №2. Использовать формулу:

Пример. Вычислить .

Арифметический метод.

Вычитаем из числа все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитав количество выполненных действий, определяем, целую часть квадратного корня из числа.

Пример. Вычислить целую часть числа .

Решение. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - целая часть числа . Итак, .

Метод (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а 1 - первое приближение числа (в качестве а 1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа - точного квадрата, не превосходящего .

Указанный способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

Метод оценки.

Шаг №1. Выяснить диапазон, в котором лежит исходный корень (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000).

Шаг №2 . По последней цифре определить на какую цифру заканчивается искомое число.

Шаг №3. Возвести в квадрат предполагаемые числа и определить из них искомое число.

Пример 1. Вычислить .

Решение. 2500 50 2 2 50

= *2 или = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Следовательно, = 58.

Библиографическое описание: Прямостанов С. М., Лысогорова Л. В. Методы извлечения квадратного корня // Юный ученый. — 2017. — №2.2. — С. 76-77..02.2019).



Ключевые слова : квадратный корень, извлечение квадратного корня.

На уроках математики я познакомился с понятием квадратного корня, и операцией извлечения квадратного корн. Мне стало интересно извлечение квадратного корня возможно только по таблице квадратов, с помощью калькулятора или есть способ извлечения вручную. Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод (, ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Рассмотрим следующие способы:

Разложим на простые множители, используя признаки делимости 27225=5*5*3*3*11*11. Таким образом

1. Канадский метод. Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность - не более двух - трёх знаков после запятой.

где х-число, из которого надо извлечь корень, с-число ближайшего квадрата), например:

=5,92

1. Столбиком. Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр. Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком

Алгоритм извлечения квадратного корня

1.От запятой отдельно дробную и отдельно целую части делим на грани по две цифры в каждой грани (целую часть - справа налево; дробную - слева направо). Возможно, что в целой части может оказаться одна цифра, а в дробной - нули.

2.Извлечение начинается слева направо, и подбираем число, квадрат которого не превосходит числа, стоящего в первой грани. Это число возводим в квадрат и записывает под числом, стоящим в первой грани.

3.Находим разность между числом, стоящим в первой грани, и квадратом подобранного первого числа.

4.К получившейся разности сносим следующую грань, полученное число будет делимым . Образовываем делитель . Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого. Подобранную цифру записываем в ответ.

5.К получившейся разности сносим следующую грань и выполняем действия по алгоритму. Если данная грань окажется гранью дробной части, то в ответе ставим запятую. (Рис. 1.)

Данным способом можно извлекать числа с разной точностью, например с точностью до тысячных. (Рис.2)

Рассматривая различные способы извлечения квадратного корня, можно сделать вывод: в каждом конкретном случае нужно определиться с выбором наиболее эффективного для того, чтобы меньше затратить времени для решения

Литература:

1. Киселев А. Элементы алгебры и анализа. Часть первая.-М.-1928 г

Ключевые слова: квадратный корень, извлечение квадратного корня .

Аннотация: В статье описываются способы извлечения квадратного корня, и приведены примеры извлечения корней.

Извлечение корня – обратная операция возведению степени. То есть Извлекая корень из числа Х, получим число, которое в квадрате даст то самое число Х.

Извлечение корня довольно-таки несложная операция. Таблица квадратов сможет облегчить работу по извлечению. Потому что, наизусть помнить все квадраты и корни невозможно, а числа могут встретиться большие.

Извлечение корня из числа

Извлечение квадратного корня из числа – просто. Тем более что это можно делать не сразу, а постепенно. Например, возьмем выражение √256. Изначально, незнающему человеку сложно дать ответ сразу. Тогда будем делать по шагам. Сначала разделим на просто число 4, из которого вынесем за корень выделенный квадрат.

Изобразим: √(644), тогда это будет равносильно 2√64. А как известно, по таблице умножения 64=8 8. Ответ будет 2*8=16.

Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Извлечение комплексного корня

Корень квадратный не может вычисляться из отрицательных чисел, потому что любое число в квадрате – положительное число!

Комплексное число – число i, которое в квадрате равно -1. То есть i2=-1.

В математике существует число, которое получается при извлечении корня из числа -1.

То есть есть возможность вычислить корень из отрицательного числа, но это уже относится к высшей математике, не школьной.

Рассмотрим пример такого извлечения корня: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Калькулятор корня онлайн

С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать извлечение числа из квадратного корня:

Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения корня

Суть преобразования подкоренных выражений в разложении подкоренного числа на более простые, из которых можно извлечь корень. Такие как 4, 9, 25 и так далее.

Приведем пример, √625. Поделим подкоренное выражение на число 5. Получим √(1255), повторим операцию √(25 25), но мы знаем, что 25 это 52. А значит ответом будет 5*5=25.

Но бывают числа, у которых корень таким методом не вычислить и просто нужно знать ответ или иметь таблицу квадратов под рукой.

√289=√(17*17)=17

Итог

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.

Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:

Вычисляем:

Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23. Попробуй-ка сходу найди эти делители.

Суть рассматриваемого нами метода - это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.

Извлечём корень из 190969.

Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как

400 2 =160000 и 500 2 =250000

Действительно:

посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?

Число 190969 находится примерно посредине, но все же ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:

Действительно, он меньше 450, так как 190 969 < 202 500.

Теперь проверим число 440:

Значит наш результат меньше 440, так как 190 969 < 193 600.

Проверяем число 430:

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.

Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. Например, 21 на 21 равно 441.

Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.

Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.

Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.

Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.

Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.

Проверяем:

Значит результат корня будет равен 437.

То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.

Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.

Извлеките самостоятельно корень из 148996

Такой дискриминант получается в задаче:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Результат корня находится между числами 300 и 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Действительно, 90000<148996<160000.

Суть дальнейших рассуждений сводится к тому, чтобы определить, как число 148996 расположено (отстоит) относительно этих чисел.

Вычислим разности 148996 - 90000=58996 и 160000 - 148996=11004.

Получается, что 148996 близко (на много ближе) к 160000. Поэтому, результат корня однозначно будет больше 350 и даже 360.

Можем сделать вывод, что наш результат больше 370. Далее ясно: так как 148996 оканчивается цифрой 6, то это означает, что в квадрат надо возводить число, оканчивающееся либо на 4, либо на 6. *Только эти числа при возведении в квадрат дают в конце 6.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\) , при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\) ? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\) ).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\) , а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\) , \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\) : \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\) , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\) , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\) , а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\) ; \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\) ; \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt{25}\) , то \ Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\) , поэтому \(\sqrt{16}=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\) .
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\) . \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\) . Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) , а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\) ! Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\) . \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\) , то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\) . Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\) . Таким образом, так как \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\) ?
Так как \(\sqrt{49}=7\) , \(\sqrt{64}=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\) . Мы знаем, что \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\) ). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\) , \(120^2=14400\) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) . Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\) . Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\) ? Это \(2^2\) и \(8^2\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.