Может быть множество все. Бесконечное количество в множестве. Множество рациональных чисел

Задача 1

Сравни элементы множеств в первом и во втором рядах. Есть ли в первом ряду элемент, которого нет во втором ряду? Есть ли во втором ряду элемент, которого нет в первом ряду?

Решение
• В первом ряду нет элементов, которых нет во втором ряду
• Во втором ряду нет элементов, которых нет в первом ряду

Задача 2

Сравни множества в первом и во втором рядах. В каком ряду есть лишний элемент?

Задача 3

Верно ли записано равенство? Почему?

Решение
• а) Верно. В этих равенствах одни и теже элементы, только в разном порядке.
• б) Не верно. В левой части равенства есть треугольник, а в правой нет.
• в) Верно. Левая часть не равна правой, потому что их элементы отличаются.

Задача 4

Пусть А = {0; 1; 2 }. Какие из множеств В - {2; 0; 1 }, С = { 1; 0 }, D = { 3; 2; 1; 0) равны множеству А, а какие ему не равны? Сделай записи и объясни их.

Решение
• A = B: У этих множеств одинаковые элементы, записанные в разном порядке.
• C не равно A: У множества C отсутствует элемент 2, который есть у множества A.
• D не равно A: У множества A отсутствует элемент 3, который есть у множества D.

Задача 5

D = { a; ; 5 }. Составь множество А, равное множеству D, и множество В, не равное множеству D.

Задача 6

• а) Составь все множества» равные множеству { О; /\ };
• б) Составь все множества, равные множеству {а; б; в).

Решение
• а) { О; /\ }, {/\ ; О}.
• б) {а; б; в), {а; в; б}, {в; а; б}, {б; а; в}.

Задача 7

Сколько элементов содержит:
• а) множество дней недели;
• б) множество парт в первом ряду;
• в) множество букв русского алфавита;
• г) множество хвостов у кошки Мурки;
• д) множество носов у Пети;
• е) множество лошадей, пасущихся на Луне?

Решение
• а) множество дней недели = 7;
• б) множество парт в первом ряду = 3;
• в) множество букв русского алфавита = 33;
• г) множество хвостов у кошки Мурки = 1;
• д) множество носов у Пети = 1;
• е) множество лошадей, пасущихся на Луне = 0.

Задача 8

• а) Растут ли в вашем школьном саду тропические пальмы? Каково множество пальм в школьном саду?
• б) Каково множество шестиногих лошадей, двухлетних детей в классе, крокодилов в Москве-реке?
• в) Придумай несколько примеров пустого множества.

Решение
• а) Не растут пальмы в школьном саду. Пустое множество Ø
• б) Пустое множество. Ø
• в) Двухметровые мухи, деревянные перчатки.

Задача 9

Найди правильное обозначение пустого множества, а остальные зачеркни:

Задача 10

• а) Во сколько раз 56 больше, чем 8?
• б) Во сколько раз 8 меньше, чем 56?
• в) На сколько единиц 56 больше, чем 8?
• г) На сколько 8 меньше, чем 56?

Решение
• а) 56 больше, чем 8 в 7 раз.
• б) 8 меньше, чем 56 в 7 раз.
• в) 56 больше, чем 8 на 48 единиц.
• г) 8 меньше, чем 56 на 48 единиц.

Задача 11

• а) Шапка стоит а руб., а пальто - в 9 раз дороже. Сколько стоят пальто и шапка вместе?
• б) Масса арбуза Ь кг, а масса тыквы - на 2 кг меньше. Какова общая масса арбуза и тыквы?
• в) В ведро входит c л воды, а в кастрюлю - в 7 раз меньше. На сколько объём ведра больше объёма кастрюли?
• г) В куске было (d м ткани. Из этой ткани сшили 8 одинаковых платьев, расходуя на каждое платье по n м. Сколько метров ткани осталось в куске

Решение
• а) (a * 9) + a
• б) (b - 2) + b
• в) c - (c: 7)
• г) d -(8 * n)

Задача 12

Отгадай, кто это?

На странице использованы задачи и задания из книги Л. Г. Петерсон «Математика. 3 класс. Часть1.» 2008г.
Ссылка на сайт автора:

Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.

Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом "множество". На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества . Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове "множество" и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под "множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое". Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 - начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что "Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором".

Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец "канторовскому раю". Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием "парадокс брадобрея" звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, - а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей - вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали "наивной". Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая "аксиома выбора". Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.

Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.

Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:

$$\{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я \} $$

А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:

$$\{9,10,11,12,13,14 \} $$

Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $\varnothing$.

Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:

$$A=\{0, 5, 6, -9 \},\; B=\{\Delta, +, -5, 0\}.$$

Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел - буквой $Z$; множество рациональных чисел - буквой $Q$; множество всех действительных чисел - буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости.

Множество, которое содержит конечное количество элементов, именуют конечным множеством . Если множество содержит бесконечное количество элементов, его называют бесконечным .

Например, указанное выше множество $A=\{0, 5, 6, -9 \}$ - конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ - множество простых чисел.

Что такое простое число : показать\скрыть

Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным.

Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел - бесконечно.

Под мощностью множества для конечных множеств понимают количество элементов данного множества. Мощность множества $A$ обозначается как $|A|$.

Например, так как конечное множество $A=\{0, 5, 6, -9 \}$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$.

Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $a\in A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5\in A$, $-9\in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $a\notin A$. Например, $19\notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например:

$$ M=\{-9,1,0, \{ a, g\}, \varnothing \} $$

Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ \{ a,\; g\}$ и пустое множество $\varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество - пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее.

Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.

Множество $A$ называют подмножеством множества $B$, если все элементы множества $A$ являются также элементами множества $B$. Обозначение: $A\subseteq B$.

Например, рассмотрим множества $K=\{ -9,5\}$ и $T=\{8,-9,0,5,p, -11\}$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $K\subseteq T$.

Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $\varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее:

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Введём ещё одно определение - универсальное множество.

Универсальное множество (универсум) $U$ обладает тем свойством, что все иные множества, рассматриваемые в данной задаче, являются его подмножествами.

Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:

$$ Vasilij=\{MTC, Life \} $$

Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.

Множества $A$ и $B$ называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, если каждый элемент множества $A$ является также элементом множества $B$, и каждый элемент множества $B$ является также элементом множества $A$, то $A=B$.

Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, то $A=B$.

Рассмотрим пару множеств: первое будет $\{\Delta, k \}$, а второе - $\{k, \Delta\}$. Каждый элемент первого множества (т.е. $\Delta$ и $k$) является также элементом второго множества. Каждый элемент второго множества (т.е. $k$ и $\Delta$) является также элементом второго множества. Вывод: $\{\Delta, k \}=\{k, \Delta\}$. Как видите, порядок записи элементов в множестве роли не играет.

Рассмотрим ещё пару множеств: $X=\{k, \Delta, k, k,k \}$ и $Y=\{\Delta, k \}$. Каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$; каждый элемент множества $Y$ является также элементом множества $X$. Следовательно, $\{k, \Delta, k, k, k \}=\{\Delta, k \}$. С учётом подобных равенств в теории множеств принято одинаковые элементы не повторять в записи дважды. Например, множество цифр числа 1111111555559999 будет таким: $\{1,5,9\}$. Есть, конечно, исключения: так называемые мультимножества . В записи мультимножеств элементы могут повторяться, однако в классической теории множеств повторения элементов не допускаются.

Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.

Если $A\subseteq B$, при этом $A\neq B$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A \subset B$.

Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным . Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$.

Например, для рассмотренных выше множеств $K=\{ -9,5\}$ и $T=\{8,-9,0,5,p, -11\}$ имеем: $K\subseteq T$, при этом $K\neq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $K\subset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $K\subset T$ более конкретна, нежели $K\subseteq T$. Дело в том, что записывая $K\subset T$ мы гарантируем, что $K\neq T$. В то время как запись $K\subseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$.

Примечание относительно терминологии : показать\скрыть

Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств.

Если $A\subseteq B$, при этом $A\neq B$ и $A\neq \varnothing$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A \subset B$. Множества $B$ и $\varnothing$ именуются несобственными подмножествми множества $B$.

Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии - дело вкуса.

Множество всех подмножеств некоего множества $A$ называют булеаном или степенью множества $A$. Обозначается булеан как $P(A)$ или $2^A$.

Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е.

$$ \left| P(A) \right|=2^{n},\;\; n=|A|. $$

Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.

Пример №1

Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.

1. $\{-3,5, 9 \}\subseteq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $;
2. $\{-3,5, 9 \}\subset \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $;
3. $\{-3,5, 9 \}\in \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $;
4. $\varnothing \subseteq \varnothing$;
5. $\varnothing=\{\varnothing \}$;
6. $\varnothing \in \varnothing$;
7. $A=\{9, -5, 8 \{7, 6 \} \};\; |A|=5$.

1. Нам заданы два множества: $\{-3,5, 9 \}$ и $\{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Каждый элемент первого множества является также элементом второго множества. Следовательно, первое множество есть подмножество второго, т.е. $\{-3,5, 9 \}\subseteq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Утверждение первого пункта - верное.
2. В первом пункте мы выяснили, что $\{-3,5, 9 \}\subseteq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. При этом данные множества не равны между собой, т.е. $\{-3,5, 9 \}\neq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Значит, множество $\{-3,5, 9 \}$ является собственным (в иной терминологии строгим) подмножеством множества $\{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Этот факт записывается как $\{-3,5, 9 \}\subset \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $. Итак, утверждение второго пункта истинно.
3. Множество $\{-3,5, 9 \}$ не является элементом множества $\{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Утверждение третьего пункта ложно. Для сравнения: утверждение $\{-3,5, 9 \}\in \{9, 8, 5, 4, \{-3,5,9\}, 6 \}$ истинно.
4. Пустое множество является подможеством любого множества. Поэтому утверждение $\varnothing \subseteq \varnothing$ истинно.
5. Утверждение ложно. Множество $\varnothing$ не содержит элементов, а множество $\{\varnothing \}$ содержит один элемент, посему равенство $\varnothing=\{\varnothing \}$ неверно. Чтобы это было нагляднее, можно обратиться к той аналогии, что я описал выше. Множество - это портфель. Пустое множество $\varnothing$ - пустой портфель. Множество $\{\varnothing \}$ - портфель, внутри которого лежит пустой портфель. Естественно, что пустой портфель и непустой портфель, внутри которого нечто есть - разные портфели:)
6. Пустое множество не содержит элементов. Ни единого. Поэтому утверждение $\varnothing \in \varnothing$ ложно. Для сравнения: утверждение $\varnothing\in\{\varnothing \}$ истинно.
7. Множество $A$ содержит 4 элемента, а именно: 9, -5, 8 и $\{7, 6 \}$. Поэтому мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Следовательно, утверждение о том, что $|A|=5$ - ложно.

Ответ : Утверждения в пунктах №1, №2, №4 - истинны.

Пример №2

Записать булеан множества $A=\{-5,10,9\}$.

Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $\varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы:

$$ \varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} $$

Напомню, что подмножество $\{-5, 10, 9 \}$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества - собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак:

$$ P(A)=\left\{\varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} \right\} $$

Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.

Ответ : $P(A)=\left\{\varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} \right\}$.

Способы задания множеств.

Первый способ - это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:

$$ \{1,2,3\} $$

Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T=\{0,2,4,6,8, 10, \ldots \}$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T=\{0,2,4,6,8, 10, \ldots \}$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений.

Второй способ - задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде:

$$\{x| P(x)\}$$

Запись $\{x| P(x)\}$ читается так: "множество всех элементов $x$, для которых высказывание $P(x)$ истинно". Что именно значит словосочетание "характеристическое условие" проще пояснить на примере. Рассмотрим такое высказывание:

$$P(x)="x\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$

Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим:

$$P(27)="27\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$

Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $\frac{2}{5}$:

$$P\left(\frac{2}{5}\right)="\frac{2}{5}\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$

Это высказывание ложно, так как $\frac{2}{5}$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых - истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3).

Третий способ - задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).

Пример №3

Записать множество $A=\{x| x\in Z \wedge x^2 < 10\}$ перечислением элементов.

Множество $A$ задано с помощью характеристического условия. Характеристическое условие в данном случае выражено записью "$x\in Z \wedge x^2 < 10$" (знак "$\wedge$" означает "и"). Расшифровывается эта запись так: "$x$ - целое число, и $x^2 < 10$". Иными словами, в множество $A$ должны входить лишь целые числа, квадрат которых меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е.

$$ A=\{0,-1,1,-2,2,-3,3\} $$

Множество $A$ теперь задано с помощью перечисления элементов.

Ответ : $A=\{0,-1,1,-2,2,-3,3\}$.

Пример №4

Описать элементы множества $M$, которое задано такой порождающей процедурой:

1. $3\in M$;
2. Если элемент $x\in M$, то $3x\in M$.
3. Множество $M$ - является подмножеством любого множества $A$, удовлетворяющего условиям №1 и №2.

Давайте пока оставим в покое условие №3 и посмотрим, какие элементы входят в множество $M$. Число 3 туда входит согласно первому пункту. Так как $3\in M$, то согласно пункту №2 имеем: $3\cdot 3\in M$, т.е. $9\in M$. Так как $9\in M$, то согласно пункту №2 получим: $3\cdot 9\in M$, т.е. $27\in M$. Так как $27\in M$, то по тому же пункту №2 имеем: $81\in M$. Короче говоря, построенное множество 3, 9, 27, 81 и так далее - это натуральные степени числа 3.

$$3^1=1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$

Итак, кажется, что искомое множество задано. И выглядит оно так: $\{3,9,27,81,\ldots \}$. Однако действительно ли условия №1 и №2 определяют только это множество?

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т.е. $N$. Число 3 - натуральное, посему $3\in N$. Вывод: множество $N$ удовлетворяет пункту №1. Далее, для любого натурального числа $x$ множество $N$ содержит также и число $3x$. Например, 5 и 15, 7 и 21, 13 и 39 и так далее. Значит, множество $N$ удовлетворяет условию №2. И, кстати сказать, не только множество $N$ удовлетворяет условиям №1 и №2. Например, множество всех нечётных натуральных чисел $N_1=\{1,3,5,7,9,11, \ldots\}$ тоже подходит под условия пунктов №1 и №2. Как же указать, что нам нужно именно множество $\{3,9,27,81,\ldots \}$?

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A ; или a принадлежит A , или A содержит a ). Если a не является элементом множества A , то пишут (a не входит в A , A не содержит a ). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a , b , c } обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные.

Два множества A и B называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A . Тогда пишут A = B . Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a , b , c допускает шесть видов записи:

{a , b , c } = {a , c , b } = {b , a , c } = {b , c , a } = {c , a , b } = {c , b , a }.

Из соображений формального удобства вводят еще так называемое "пустое множество", а именно, множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают , иногда символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Если каждый элемент множества A входит во множество B , то A называется подмножеством B , а B называется надмножеством A . Пишут (A входит в B или A содержится в B , B содержит A ). Очевидно, что если и , то A = B . Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества A входит в B , но множество B содержит хотя бы один элемент, не входящий в A , т. е. если и , то A называется собственным подмножеством B , а B - собственным надмножеством A . В этом случае пишут . Например, запись и означают одно и то же, а именно, что множество A не пусто.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a }, содержащее a в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неодинаковую роль (отношение не симметрично), но и необходимостью избежать противоречия. Так, пусть A = {a , b } содержит два элемента. Рассмотрим множество {A }, содержащее своим единственным элементом множество A . Тогда A содержит два элемента, в то время как {A } - лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому рекомендуется применять запись , и не пользоваться записью .

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел
• Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

• ∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
• ∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.