Относительные величины. Абсолютные и относительные величины

Абсолютные цифры - «ясный» способ показать, сколько и чего у нас есть. Сколько у меня яблок? Четыре. Здесь все понятно, и никакая визуализация не нужна. Нам нравится знать точное количество, поскольку это дает нам ощущение определенности и способность быть точными.

Оба эти фактора в совокупности чрезвычайно важны для того, чтобы мы могли с уверенно­стью принимать важные решения (к примеру, о том, сколько яблок отда­вать Тому).

Абсолютное количество придает больше уверенности в цифрах

Однако у них есть и свои проблемы. Прежде всего, мы как люди доволь­но плохо усваиваем «большие» цифры. Самое значительное количество, которое можно представить себе без сознательного усилия, равно пяти (подумайте об этом в следующий раз, когда кто-то начнет разбрасывать­ся «миллиардами»). Это не значит, что мы не можем представить себе огромные числа; разумеется, можем, но вряд ли сумеем изобразить в виде картинки. Поскольку большинство людей на самом деле не способны представить себе большие числа, визуальное сравнение одного числа или количества с другим помогает нам понять, о чем речь.

К примеру, в случае четверых людей (Тома, Дика, Гарри и меня самого) и четырех яблок довольно просто понять, по каким признакам они сравни­ваются. Однако, что если бы у меня было 39 яблок или, скажем, 72 тысячи? Понятно, что получить правильный ответ можно простым делением в стол­бик, однако (и особенно в случаях, когда мы заинтересованы в быстрой оценке) нам поможет и картинка со сравнительными показателями.

Нам не нужно пересчитывать ко­личество яблок, чтобы их поделить. Достаточно визуального сравне­ния обоих чисел

Самое простое, очевидное и часто используемое для сравнения чис­ло - сотня. С ее помощью мы можем получить процентный показатель. А как мы знаем, это отличный способ дать количественную оценку, срав­нив части с целым или одно число с другим.

Использование стандарта для сравнения типа процентов часто упрощает задачу понять, что озна­чают большие числа

Использование стандарта для сравнения помогает также смягчить вторую проблему с абсолютными количествами: когда абсолютные коли­чества становятся слишком большими (или слишком малыми), их сложно показывать на графике любого вида. Особенно, если мы пытаемся изобра­зить большое количество рядом с небольшим*. Переключиться на срав­нительные значения зачастую означает позволить себе больше гибкости, сделать цифры более заметными.

*Математики знают, насколько сложно бывает управлять (или хотя бы фиксировать на бумаге) крайне большими или крайне ма­лыми числа, поэтому они изобре­ли для решения этой проблемы способ экспоненциальной записи. Не хочу с ними спорить, однако скажу, что простые картинки по­могают быстрее понять, что озна­чают большие числа. Изучив их, мы можем принять решение, нуж­ны ли нам более детальные мате­матические расчеты.

График, показывающий сравнительные величины, обеспечивает нас большей степенью визуаль­ной гибкости, чем график, пока­зывающий абсолютные значения

Рассмотрим несколько примеров.

По яблоку в день

Когда кто-нибудь говорит слово «яблоко», большинству из нас на ум при­ходит она из двух картинок - фрукт или компьютер. Как мы знаем из пре­дыдущего разговора о модели 6 х 6, в нашем распоряжении есть крайне простой и эффективный способ изобразить различия между ними - про­стой портрет.

О каких яблоках идет речь? Порт­рет помогает увидеть разницу

Но что делать, если собеседник говорит: «Я имею в виду фрукт. Что значит фраза ”an apple a day keeps doctor away*”?» Здесь необходим со­вершенно иной образ. Почему не придется посещать докторов? Связано ли это с тем, что яблоко красного цвета? Вряд ли. Связано ли это с тем, что обычно яблоко имеет форму шара? Нет. Может быть, дело в том, что яблоки приятно есть? Возможно, однако наш личный опыт показывает, насколько сильно доктора любят измерять здоровье - они меряют нашу температу­ру, изучают данные о кровяном давлении, взвешивают нас, подсчитывают показатели холестерина и т. д. Возможно, что в яблоках есть нечто изме­ряемое, и оно позволяет нам спокойно жить без медицинского персонала.

*Что можно перевести пример но так: «В день по яблоку съедаешь - докторов не посещаешь!

Каким образом мы можем измерить нечто, связанное с яблоками и по­могающее нам оставаться здоровыми?

График показывает, какие именно показатели позволяют яблокам становиться эффективными ре­пеллентами против врачей

Цена на бананы

Говоря о фруктах, давайте на минуту вернемся к нашему покупателю ба­нанов. Помните, в чем мы были заинтересованы? Мы хотели узнать, имеет ли финансовый смысл покупка бананов у поставщика, который продает их по более низкой цене, но при этом находится значительно дальше прежнего. Нас совершенно не интересуют никакие вопросы, связанные с бананами, кроме издержек. Чтобы их увидеть, нам понадобится график*.

Он отражает оптовые цены на бананы в нескольких вымышленных странах-производителях: Бурола, Хаулу, Вестанго и наш нынешний поставщик Киксос:

*Цифры и географические объекты в этом упражнении также полно­стью вымышлены. Пожалуйста, не принимайте никаких решений о покупке бананов, основываясь только на том, что видите в этой книге.

Мы видим, что бананы из Бурола значительно дешевле, чем бананы от нашего нынешнего поставщи­ка Киксос

Этот график показывает величины транспортных расходов по доставке из этих четырех стран:

Если ориентироваться исключительно на параметр «сколько» и со­вместить два простых графика, то ответ очевиден: мы должны перестать покупать бананы в стране Киксос и переключиться на Бурола:

Даже при увеличении затрат на транспортировку бананы Бурола обойдутся нам значительно дешевле

Разумеется, глядя лишь на картинки, иллюстрирующие параметр «сколько», мы упускаем кое-что из виду. Помните, мы были крупным покупателем бананов в Киксосе на протяжении ряда лет. Что произой­дет в этой стране, если мы перестанем покупать у нее бананы? Графики не могут дать нам ответа, однако способны показать, что любое снижение объема продажи бананов серьезно повредит экономике Киксоса:

Мы крупный покупатель бананов в Киксосе, а торговля ими состав­ляет почти две трети экономики этой страны. Что произойдет, если мы перестанем покупать там бананы?

Грубо говоря, это совершенно не интересует нас с точки зрения «сколько». Однако когда-нибудь это вполне может стать нашей проблемой. Может быть, стоит обсудить более низкую цену? Или просто расстаться с Киксосом, найти другого поставщика или другой способ заработать день­ги? Кто знает? Разумеется, графики не могут дать нам ответа. Главный урок здесь в другом: всегда необходимо помнить, что мы измеряем, а что нет. Ответ на вопрос «сколько» (первая картинка, на которую обраща­ет внимание бизнесмен) всегда упускает из вида важную информацию из других источников, то есть другие точки зрения на проблему.

ВАША ОЧЕРЕДЬ РИСОВАТЬ ГРАФИК

Изучите описанные ниже упражнения по созданию графиков и выберите для работы одно из них (если вам нравится отвечать на вопрос «сколько», не откажите себе в удовольствии и сделайте оба). Мое решение приведено в приложении на с. 370.

Вариант графика /: Кто как видит?

Вчера мы говорили о типах людей, решающих визуальные проблемы, и о том, что каждый из нас относится к одной из следующих категорий:

Черная Ручка;

Желтая Ручка;

Красная Ручка.

В ходе сотен встреч я просил участников поднимать руки в ответ на вопрос, какая из этих категорий лучше всего описывает каждого из них. В большинстве случаев руки поднимаются вверх в следующей последовательности: чуть больше четверти участников относит себя к первой категории, примерно половина-ко второй и чуть менее четверти - к третьей. Один или два человека вообще не поднимают руки. На что это похоже?

В ходе одного собрания, на котором присутствовали сотни людей из крупнейшего объединения преподавателей по всей стране, я задал тот же самый вопрос. Результат оказался совсем не таким, который я привык видеть в других группах: к первой категории себя отнесла лишь пара человек, ко второй - четверо, а к третьей-добрая сотня слушателей. На этот раз никто из участников не воздержался. На что это похоже, особенно если сравнить с частью 1?*

*Это подлинная история, которая оказалась для меня настоящим шоком. Самое огромное исключение из обще­го правила проявилось, когда я провел этот (не вполне научный) опрос среди доброй сотни представителей Национальной ассоциации образования - почти все они посчитали себя Красными Ручками! Здесь можно много сказать, насколько несовершенным для таких людей будет способ решения проблем с помощью кар­тинок, однако скорее всего мы предадимся домыслам. Для того чтобы понять, что означала такая ситуация на самом деле, необходим набор более валидных тестов (проведенный человеком, разбирающимся в стати­стике лучше, чем я). Нам предстоит узнать чуть больше о преподавателях, образовательной системе, пони­мании интеллекта или куче других вещей. Ау, аспиранты - вам не нужна тема для диссертации?

Вариант графика 2. У вас температура

В этой статье мы детально разберем модуль числа . Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.

Навигация по странице.

Модуль числа – определение, обозначение и примеры

Сначала введем обозначение модуля числа . Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7 можно записать как ; модуль 4,125 записывается как , а модуль имеет запись вида .

Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .

Определение.

Модуль числа a – это либо само число a , если a – положительное число, либо число −a , противоположное числу a , если a – отрицательное число, либо 0 , если a=0 .

Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде , эта запись означает, что , если a>0 , , если a=0 , и , если a<0 .

Запись можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что , если (a больше или равно 0 ), и , если a<0 .

Также имеет место и запись . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0 . В этом случае имеем , но −0=0 , так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.

Приведем примеры нахождения модуля числа с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15 и . Начнем с нахождения . Так как число 15 – положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как - отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу . Таким образом, .

В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака , а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа . Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.

Модуль числа как расстояние

Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние . Приведем определение модуля числа через расстояние .

Определение.

Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.

Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.

Например, модуль числа 9 равен 9 , так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25 находится от точки O на расстоянии 3,25 , поэтому .

Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.

Определение.

Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b .

То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b) , то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b . Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень

Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень .

Для примера вычислим модули чисел −30 и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: .

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a – положительное число, при этом число −a – отрицательное. Тогда и , если же a=0 , то .

Свойства модуля

Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля . Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.

Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом . В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a . Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.

Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль . Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O , не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.

Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a . Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.

Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел , то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b , если , либо −(a·b) , если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.

Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b , то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем . Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: , a , b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника . Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a) , B(b) , C(c) на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС , у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ , - длине отрезка АС , а - длине отрезка СВ . Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство , следовательно, справедливо и неравенство .

Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде . Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел ». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b положить −b , и принять c=0 .

Модуль комплексного числа

Дадим определение модуля комплексного числа . Пусть нам дано комплексное число , записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z , а – мнимая единица.

Статистические показатели: абсолютные и относительные величины

1. Статистические показатели, их виды.
2. Абсолютная величина.
3. Относительные величины.

Статистические показатели, их виды

Каждая единица статистической совокупности может быть охарактеризована с помощью статистических показателей. Статистический показатель – это количественно-качественная обобщающая характеристика какого-либо свойства группы единиц или совокупности в целом, этим он и отличается от признака. Например:средний размер з/п в Украине – статистический показатель, а з/п конкретного человека – признак.

Статистический показатель представляет собой обобщающую характеристику изучаемого объекта, в которой объединяются его качественная и количественная определенность. Качественное содержание показателя зависит от сути изучаемого объекта (явления, процесса) и находит свое отражение в его названии (количество проданных товаров, дневная выручка, годовая прибыль и т.п.). Количественную сторону явления представляют число и его измеритель. Соединительным звеном между качественным содержанием и числовым выражением является модель показателя, котораяраскрывает статистическую структуру показателя, устанавливает, что, где, когда, каким образом подлежит измерению. В ней обосновываются единицы измерения и вычислительные операции. В модели показателя отражены правила его построения и вычисления.

Показатели классифицируют:

1. По способу вычисления на:
- первичные ,определяются путем сводки и группировки данных и представляются в форме абсолютных величин;
- производные , вычисляются на базе первичных или вторичных показателей и имеют форму средних или относительных величин.

2. По признаку времени на:
- интервальные , характеризуют состояния объекта (явление, процесс) за определенное время (день, месяц, год). Например, объем реализованной за год продукции, введенные в эксплуатацию в течение квартала производственные мощности предприятия, сменная выработка рабочего и т.п.;
- моментные , характеризуют явление на определенный момент времени. Например, явка работников к началу смены, наличие свободных такси в момент заказа, состояние счетов баланса предприятия на начало и на конец года (квартала), остатки оборотных средств на начало месяца и др.

3. По взаимосвязи изучаемым объектом выделяют пары взаимообратных (прямых и обратных) статистических показателей, которые существуют параллельно и характеризуют одно и то же явление. Прямой показатель растет с увеличением явления, обратный , наоборот, уменьшается. Например, выработка продукции в единицу времени - прямой показатель, а затраты времени на единицу продукции - обратный показатель.

Абсолютные и относительные величины могут быть выражены в статистических показателях.

Абсолютная величина

Абсолютными в статистике называют суммарные показатели, характеризующие либо размеры признака у отдельных единиц совокупности (например: размер з/п отдельного работника) либо итоговое значение признака по совокупности объектов (фонд заработной платы предприятия). Абсолютные величины представляют собой именованные числа, т.е. имеющие единицу измерения. В зависимости от конкретной задачи исследования и характера явления используют натуральные, трудовые и стоимостные (денежные) единицы измерения.

Стоимостные измерители позволяют оценивать деятельность разнородных объектов. Например: объем производства машиностроительного завода измеряется в единицах выпущенной продукции; объем работы грузового АТП – в тоннах, тонно-километрах; пассажирского АТП – в пассажирах, пассажиро-километрах; таксопарка в платных километрах пробега. Показатели объема производства вышеперечисленных предприятий выражены в различных натуральных единицах измерения и потому они несопоставимые. При необходимости сравнения этих предприятия результаты их работы следует рассматривать в стоимостном выражении, т.е. в доходах.
В трудовых единицах измерения (чел-дн, чел-час) учитывают затраты труда на предприятии или трудоемкость отдельных операций технологического цикла.
Если возникает потребность свести воедино несколько разновидностей продуктов одного потребительского назначения, объемы такого явления выражают в условно-натуральных единицах. Перерасчет в условные единицы осуществляют с помощью специальных коэффициентов приведения. Например, топливный баланс составляется в тоннах условного топлива. Эталоном служит каменный уголь, теплотворная способность которого составляет 7000 кал на 1 кг. Коэффициенты приведения калорийности донецкого угля - 0,9; природного газа - 1,2 и т.д.

При решении определенного круга аналитических задач абсолютные величины представляют в форме балансов, в которых показатели сгруппированы по источникам формирования и по направлениям использования. Широко используют также динамичные балансы, которые составляются по схеме:
(остатки на начало периода) + (поступления) - (расходы) = (остатки на конец периода).

По соотношению абсолютных величин, представленных в форме балансов, оценивают сбалансированность процессов. Например, сбалансированность доходов и расходов населения, сбалансированность экспортно-импортных операций и т.д.

Относительные величины

Относительная величина в статистике – это обобщающий показатель, представляющий собой частное от деления двух абсолютных показателей и дающий числовую меру соотношения между ними. При этом в числителе дроби стоит величина, которую сравнивают, в знаменателе – величина, с которой сравнивают. Последняя называется базой или основанием сравнения . Если базу сравнения принять за единицу, то относительная величина выразится в форме коэффициента и покажет во сколько раз сравниваемая величина больше или меньше базы. Так, если сопоставить численность студентов четвертого (21 чел.) и второго (49 чел.) курсов специальности «Учет и аудит», то получим относительную величину в форме коэффициента (49:21=2,33), которая показывает, что студентов второго курса в 2,33 раза больше. Базой сравнения может быть 100, 1000, 10000 или 100000 единиц. Тогда относительная величина выражается соответственно в процентах (%), промилях (0/00), продецимилях (0/000) и просантимилях 0/0000).

Выбор той или иной формы относительной величины зависит от ее абсолютного значения. Если сравниваемая величина больше базы сравнения в 2 раза и более, то обычно выбирают форму коэффициента (как в приведенном примере). Если относительная величина близка к единице, как правило, ее выражают в процентах, если же она очень мала, то в промилях и т. д. Например, 0,0025 может быть выражено как 0,25 % или 2,5 0/00, или 25 0/000.
В соответствии с аналитической функцией выделяют следующие виды относительных величин: относительные величины динамики, планового задания, выполнения планового задания, структуры, сравнения, интенсивности, координации.
Относительные величины динамики () характеризуют изменение уровня какого-либо явления во времени, рассчитываются делением уровня признака в анализируемом периоде или моменте времени к уровню того же признака в предшествующий период или момент времени. Относительные величины могут быть базисными, когда за базу сравнения принимают какой-то один год, и цепными – за базу сравнения принимается предшествующий год.
Например, производство электроэнергии АЭС Украины характеризуется следующими данными.

Тогда а) базисные относительные величины динамики производства электроэнергии:
; ; ;.
б) цепные относительные величины динамики производства):
; ; .

Относительная величина планового задания () рассчитывается как отношение уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню, фактически сложившемуся в текущем периоде. Например, объем производства в 2003 г. составил 100000 шт. условных изделий, на 2004 запланировано производство 110000 шт. изделий. Тогда

Относительная величина выполнения планового задания () представляет собой отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному Пример: на 2004 г. планировалось производство 110000 шт. условных изделий, фактически произведено 105000 шт.

Между относительными величинами динамики, планового задания и выполнения плана существует следующая зависимость

Пример. Предусматривалось увеличение производства на 5%, фактический рост составил 7,5%. Необходимо определить степень выполнения планового задания.



Таким образом, плановое задание перевыполнено на 2,38 %.
Относительные величины структуры показывают удельный вес (долю) отдельных частей во всей совокупности. Они рассчитываются делением числа единиц в отдельных частях на общее число единиц совокупности. Относительные величины структуры называют долями , сумма их составляет 1 или 100%. На использовании долей базируется сравнительный анализ состава различных по объему совокупностей, оценка структурных сдвигов во времени. Разницу между долями называют процентными пунктами .
Относительными величинами сравнения () называют показатели, представляющие собой частное от деления одноименных абсолютных величин, относящихся к разным совокупностям, но к одному и тому же периоду или моменту.Например, на 1.01.96 в Киеве проживало 2630 тыс. чел., в Харькове – 1555 тыс. чел. Тогда показывает, что в Киеве численность населения на 69% больше, чем в Харькове, а свидетельствует, что в Харькове населения на 41% меньше чем в Киеве. (Одноименные абсолютные величины – городское население, совокупности – разные города).
Относительные величины интенсивности – показывают степень распространения или уровень развития того или иного явления в определенной среде. Они вычисляются путем сравнения разноименных величин. Примером может служитьплотность населения, определяющаяся делением численности населения на площадь территории, где оно проживает, или производительность труда. Эти показатели обычно определяются в расчете на 100, 1000 и т.д. единиц изучаемой совокупности.
Относительные величины координации характеризуют соотношение между отдельными частями одного целого. Рассчитываются делением одной части на другую.
Пример. Численность городского населения Украины на 1.01.96 г. составила 34,8 млн. чел., сельского – 16,5 млн. чел.
При изучении городского населения рассчитывают . Полученное значение показывает, что городского населения больше, чем сельского в 2 раза или на 110%.
Если за базу сравнения принять число сельского населения, то относительный показатель координации равен . Это означает, что в Украине 1996 года сельского населения было на 53% меньше городского. (Целое: население Украины, части: городское и сельское население.)

В гл. I этой книги неравенство было определено, как мы помним, в терминах множества положительных чисел. Напомним также, что для справедливости отдельных результатов гл. II, например теоремы 5, касающейся умножения неравенств, было необходимо потребовать положительности некоторых чисел, фигурирующих в условиях теоремы. В теореме 7 той же главы появляются степени с дробными показателями, которые иногда могут не оказаться даже действительными числами, если не оговорить положительности числа, возводимого в дробную степень; чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть, например, для Многие из основных неравенств, которые выводятся в гл. IV, содержат такие степени с дробными показателями. Естественно, что и далее мы часто будем ограничиваться рассмотрением положительных чисел или неотрицательных чисел (т. е. положительных чисел и числа нуль).

В прикладных проблемах, в которых приходится рассматривать неравенства, часто имеют дело с весом, объемом и т. п., с модулем или абсолютной величиной таких математических объектов, как действительные числа, комплексные числа, векторы. Все эти величины измеряются неотрицательными числами. Так, если даже условиться обозначать выигрыши положительными числами, а проигрыши отрицательными числами, то все же будет естественно сказать, что проигрыш в три доллара больше, чем проигрыш в два доллара - и это несмотря на то, что число -3 меньше, чем -2. При этом мы имеем в виду,

что абсолютная величина числа -3 больше абсолютной величины числа -2.

В этой главе мы дадим определение абсолютной величины действительного числа и изучим некоторые ее свойства для применения их к неравенствам в следующих главах. Мы также приведем графики некоторых интересных и достаточно часто встречающихся функций, содержащих абсолютную величину, и изложим некоторые относящиеся к ним новые идеи.

§ 2. Определение

Абсолютная величина действительного числа а, обозначаемая через может быть определена различными способами. Мы здесь рассмотрим некоторые из возможных определений этого понятия.

Определение. Абсолютная величина действительного числа а определяется как число а, если а положительно или равно нулю, и как число , если а отрицательно.

Так, например,

Принципиальная невыгодность только что приведенного определения заключается в том, что оно не подходит для алгебраических преобразований. Так, например (см. теорему 2 настоящей главы), для любых чисел

что можно проверить, рассматривая отдельно различные возможные случаи: числа оба положительны, одно из чисел положительно, а второе отрицательно; оба числа отрицательны; одно из чисел равно нулю, а второе положительно; одно из чисел равно нулю, а второе отрицательно; оба числа равны нулю. Однако предпочтительнее дать единый вывод, охватывающий все случаи и имеющий чисто алгебраический характер; такой вывод будет дан в § 8 после того, как будут приведены различные определения абсолютной величины, эквивалентные данному выше определению. Эти новые определения будут основываться на понятиях квадрата числа и квадратного корня из числа.

Приведенное выше определение абсолютной величины можно перефразировать следующим образом:

Абсолютная величина действительного числа а равна 0, если во всех же остальных случаях есть положительный элемент множества .

Так, если то есть положительный элемент множества т.е. 2. Если то есть положительный элемент множества т. е. снова 2. Однако этой характеристике символа присущи те же неудобства, что и предыдущей.

§ 3. Специальные символы

Последующие два определения числа связаны с двумя специальными символами: Значение этих символов мы сейчас и объясним.

Символ обозначает наибольший элемент множества действительных чисел.

Если множество содержит только один или только два элемента, мы все же будем говорить о "наибольшем" из его элементов. Если наибольшее значение имеют несколько элементов множества, то любой из них считается наибольшим. Так,

После некоторой тренировки можно научиться производить те или иные арифметические операции над выражениями, содержащими символ

Так, например,

В частности, рассмотрим если то

и т. д. Таким образом, для любых а

так что соотношение (3.1) можно принять за еще одно определение

Перейдем теперь ко второму специальному символу. Символ обозначает наибольший элемент множества если по крайней мере один из его элементов неотрицателен; если же все элементы множества отрицательны, то этот: символ означает число 0. Так,

Как и в случае символа можно производить арифметические действия с выражениями, содержащими символ хотя это и представляет известные неудобства. Так, например,

Как показывают рассмотренные примеры, символы не эквивалентны. Действительно, легко можно видеть, что

Отсюда следует, что

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда множество содержит по крайней мере один неотрицательный элемент.

А так как множество при любом значении а содержит неотрицательный элемент, то при любом значении а

Таким образом, равенство

также можно рассматривать как определение величины

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

§ 4. Графические рассмотрения

Графическое изображение может дать поразительно яркую картину поведения функции независимо от того, имеем ли мы дело со средней суточной температурой, колебаниями рынка сбыта, величиной или с чем-нибудь еще. Самым важным здесь является то, что график позволяет нам с одного взгляда усмотреть некоторые общие свойства функции, которые при иных способах ее изучения могли бы остаться скрытыми.

Например, значение символов становится более понятным при рассмотрении изображенных на рис. 2 и 3 графиков функций

Пунктирными линиями на рис. 2 и 3 продолжены графики функций

Построим теперь график функции который дает наглядную характеристику понятия абсолютной величины. Для наших целей достаточно ограничиться неполным графиком, отвечающим интервалу

Рис. 2. График функции

Рис. 3. График функции

При построении этого графика сначала полезно и интересно рассмотреть график функции т. е. множество упорядоченных пар действительных чисел где а также график функции Эти графики изображены на рис. 4 и 5. Из этих графиков и определения

сразу следует, что график функции совпадает с графиком как это показано на рис. 6. Мы должны выбирать на рис. 4 и 5 большую из ординат отвечающих данной абсциссе Эта большая

ордината и служит ординатой у на графике, изображенном на рис. 6. Например, при большей ординатой будет при большей ординатой будет

Рис. 4. График функции

Рис. 5. График функции

На рис. 7 изображен график функции Рассматривая четыре графика, изображенные на рис. 4-7, мы заметим, что для любого значения абсциссы все четыре ординаты не меньше - и не больше

Рис. 6. График функции

Рис. 7. График функции

Поэтому из рис. 4, 6 и 7 можно сделать следующий вывод, который вы, безусловно, смогли бы заметить и доказать вообще без рассмотрения графиков:

Теорема 1. Для каждого действительного числа а

При этом первый знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда а второй - тогда и только тогда, когда .

Cтраница 1

Абсолютное число хронически голодающих менялось следующим образом (млн чел. Однако к последней цифре следует добавить еще 80 млн голодающих, появившихся в странах с переходной экономикой.  

Абсолютное число р-распадов довольно велико - около 30 р-распадов в секунду или 1800 р-распадов на 1 г калия в минуту (стр.  

Абсолютное число посещенинй (как и доля их) участковых врачей также неуклонно возрастало, превысив половину всех посещений. Увеличивалось и в абсолютном, и в относительном исчислении число посещений врачей подросткового кабинета, функции которых по обеспечению медицинской помощью подростков мало чем отличаются от функций участковых врачей. Что же касается посещений специалистов, то при незначительных изменениях абсолютных чисел их доля в структуре всех посещений снижалась, что вполне понятно при общем росте числа посещений. Эти данные указывают на ведущую и возрастающую роль участковых врачей и врачей подростковых кабинетов в оказании терапевтической амбулаторно-поликлинической помощи населению и на известные пределы, которых достигает потребность в специализированной терапевтической помощи.  

Абсолютное число образцов является хорошей возможностью появления образцов с различной прс ицаемостью только в сравнительном варианте. Однако само по себе число образцов в том или ином интервале изменения проницаемости не может служить мерой возможности. Это число будет зависеть от общего числа испытаний и может изменяться с изменением этого общего числа испытаний.  

Абсолютное число бактериальных спор в начале опыта также возросло, но его увеличение сильно отставало от темпа развития общей массы бактерий. В силу этого процент спор, вычисленный по отношению к общему количеству бактерий в загрязненных почвах, первоначально сильно упал.  

Абсолютное число наемных рабочих у таких хозяев оказалось очень велико - 1 6 миллиона, болъшо трети всего числа наемных рабочих. Очевидно из всей массы (2 1 млн.) крестьянских хозяйств имеется немало капиталистических предприятий. Мы увидим ниже, каково приблизительно их число и их значение, теперь же остановимся подробнее на соотношении сзмейного и наемного труда.  

Абсолютное число отказов ПГА каждого вида за определенный период времени не может объективно характеризовать их распределение, так как оно связано с абсолютным числом испытанных или подконтрольных изделий каждого вида.  

Абсолютное число профессиональных заболеваний в нефтеперерабатывающей промышленности невелико и постоянно уменьшается. Из общего их числа около 45 % приходится на хронические интоксикации углеводородами у работников, долгое время контактирующих с нефтепродуктами: сливщиков, наливщиков, замерщиков, пробоотборщиков, рабочих по чистке емкостей. Наблюдаются также случаи пневмокониоза и силикоза (заболевания легких) у лиц, занятых работами с катализаторами, отбеливающими глинами, размолом гумбрина.  

Абсолютное число профессиональных заболеваний в нефтеперерабатывающей и нефтехимической промышленности невелико и постоянно уменьшается.  

Абсолютные числа переменных расходов газа удобно заменять относительными.  

Поскольку абсолютное число свободных электронов и дырок на квадратный сантиметр поверхности окисного катализатора входит в предэкспоненциальный множитель в выражении для скорости реакции, становится понятной причина падения скорости окисления после длительного спекания катализатора при высоких температурах. Такая предварительная обработка уменьшает величину поверхности катализатора и число дырок.  

Сравнивая абсолютные числа жителей данных возраста и группы в 1890 и 1900 гг., видно, что за 10 лет прирост везде велик, и хотя для цветных рас он немного более (32 %), чем для белых (около 21 % за 10 лет), но разность не велика. При этом нельзя не заметить, что, несмотря на преобладающую пропорцию детей у цветных жителей, цветные расы представляют медленно убывающий процент всех жителей Штатов: 12.2 и 12.1. Причину этого составляют, конечно, прибывающие белые переселенцы. Уверенность в том, что черная раса не получит в Штатах большого значения в будущем, увеличивается на основании того, что процент цветных детей за последние 20 лет у них все еще остается большим, чем у белых, но все же сильно убывает.  

Если абсолютное число крупных и мелких частиц в воде будет настолько велико, что фильтрующаяся вода не может перемещать их по трещинам и поровым каналам в глубь пласта, происходит резкое снижение приемистости скважины.