Начальным моментом k -го порядка случайной величины X X k :
В частности,
Центральным моментом k -го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины k :
.
(5.11)
В частности,
Воспользовавшись определениями и свойствами математического ожидания и дисперсии, можно получить, что
,
,
Моменты более высоких порядков применяются редко.
Предположим, что распределение случайной величины симметрично относительно математического ожидания. Тогда все центральные нечетного порядка равны нулю. Это можно объяснить тем, что для каждого положительного значения отклонения X–M[X] найдется (в силу симметричности распределения) равное ему по абсолютной величине отрицательное значение, причем их вероятности будут одинаковыми. Если центральный момент равен нечетного порядка не равен нулю, то это говорит об асимметричности распределения и чем больше момент, тем больше асимметрия. Поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения разумнее всего взять какой-нибудь нечетный центральный момент. Так как центральный момент 1-го порядка всегда равен нулю, то целесообразно для этой цели использовать центральный момент 3-го порядка. Однако принять этот момент для оценки асимметричности неудобно потому, что его величина зависит от единиц, в которых измеряется случайная величина. Чтобы устранить этот недостаток, 3 делят на 3 и таким образом получают характеристику.
Коэффициентом асимметрии A называется величина
.
(5.12)
Рис. 5.1
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то это говорит о большом влиянии на величину 3 отрицательных отклонений. В этом случае кривые распределения более пологи слева от M[X]. Если коэффициент A положителен, то кривая более пологи справа.Как известно, дисперсия (2-й центральный момент) служит для характеристики рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем более полога соответствующая кривая распределения. Однако нормированный момент 2-го порядка 2 / 2 не может служить характеристикой "плосковершинности" или "островершинности" распределения потому, что для любого распределения D[x ]/ 2 =1. В этом случае используют центральный момент 4-го порядка.
Эксцессом E называется величина
.
(5.13)
Ч
Рис.
5.2
Пример 5.6. ДСВ X задана следующим законом распределения:
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.
Рис.
5.4
Теперь вычислим центральные моменты:
Очевидно, что начальный выборочный момент нулевого порядка всегда равен 1, а начальный выборочный момент первого порядка
Определение 2.19 Центральным моментом k- го порядка выборки x 1 , x 2 , …, x n называется среднее k-тых степеней отклонений данных выборочных значений от среднего , то есть
Из данного определения следует, что центральный выборочный момент нулевого порядка равен 1. При k = 1 получается, что
, а
при k=
2 имеем
.
Следовательно, выборочная дисперсия является центральным выборочным моментом второго порядка. Для вычисления центрального выборочного момента третьего порядка используем стандартные алгебраические преобразования:
В результате получилось выражение центрального момента третьего порядка через начальные моменты. Таким же способом находятся выражения для центральных моментов более высоких порядков. Приведем ряд формул, которые на практике используются чаще других:
При вычислении начальных и центральных выборочных моментов используются приемы и таблицы, аналогичные тем, которые применялись ранее для вычисления среднего и дисперсии .
Пример 2.28 В ходе социологического исследования собраны ответы 25 рядовых сотрудников учреждения о количестве стрессовых ситуаций, возникавших на работе в течение недели. Данные опроса приведены в следующей таблице. Найдем начальные и центральные выборочные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Таблица 2.20 – Данные исследования стрессовых ситуаций
Необходимые промежуточные расчеты будем фиксировать в следующей таблице.
Таблица 2.21 – Вычисления начальных и центральных моментов
Объем выборки n = 25. Вычислим начальные выборочные моменты:
; 
;
; 
.
Используя соответствующие формулы, вычислим центральные выборочные моменты:
Округлим полученные значения центральных моментов:
; 
;
; 
Начальные и центральные выборочные моменты являются аналогами соответствующих понятий теоретических моментов всей генеральной совокупности значений исследуемой случайной величины.
Определение 2.20 Начальным моментом k -го порядка случайной величины Х называется число , равное математическому ожиданию k -й степени величины Х:
.
Для вычисления начального момента k-го порядка используются следующие формулы:
Очевидно, что математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка, а дисперсия – центральным моментом второго порядка. Как теоретические, так и выборочные моменты используются при исследовании закона распределения случайной величины. Все центральные моменты четных порядков, как и дисперсия, характеризуют рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания. Центральные моменты нечетных порядков выявляют асимметрию распределения относительно центра. В частности, если значения случайной величины распределены симметрично относительно математического ожидания, то все ее существующие моменты нечетных порядков равны нулю. С другой стороны, существование отличного от нуля центрального момента нечетного порядка показывает наличие асимметрии распределения.
Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, - употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.
Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.д.). Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.
Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины называется сумма вида:
. (5.7.1)
Очевидно, это определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси абсцисс в точках сосредоточены массы .
Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл
. (5.7.2)
Нетрудно убедиться, что введенная в предыдущем n° основная характеристика положения – математическое ожидание – представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины .
Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы (5.7.1) и (5.7.2) в одну. Действительно, формулы (5.7.1) и (5.7.2) по структуре полностью аналогичны формулам (5.6.1) и (5.6.2), с той разницей, что в них вместо и стоят, соответственно, и . Поэтому можно написать общее определение начального момента -го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:
, (5.7.3)
т.е. начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины.
Перед тем, как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины».
Пусть имеется случайная величина с математическим ожиданием . Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение случайной величины от её математического ожидания:
Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком наверху.
Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Действительно, для прерывной величины
аналогично и для непрерывной величины.
Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.
Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.
Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины называется математическое ожидание -й степени соответствующей центрированной случайной величины:
, (5.7.6)
а для непрерывной – интегралом
. (5.7.8)
В дальнейшем в тех случаях, когда не возникает сомнений, к какой случайной величине относится данный момент, мы будем для краткости вместо и писать просто и .
Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:
, (5.7.9)
так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.
Выведем соотношения, связывающие центральные и начальные моменты различных порядков. Вывод мы проведем только для прерывных величин; легко убедится, что точно те же соотношения справедливы и для непрерывных величин, если заменить конечные суммы интегралами, а вероятности – элементами вероятности.
Рассмотрим второй центральный момент:
Аналогично для третьего центрального момента получим:
Выражения для и т.д. могут быть получены аналогичным путем.
Таким образом, для центральных моментов любой случайной величины справедливы формулы:
(5.7.10)
Вообще говоря, моменты могут рассматриваться не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки :
. (5.7.11)
Однако центральные моменты имеют перед всеми другими преимущество: первый центральный момент, как мы видели, всегда равен нулю, а следующий за ним, второй центральный момент при этой системе отсчета имеет минимальное значение. Докажем это. Для прерывной случайной величины при формула (5.7.11) имеет вид:
. (5.7.12)
Преобразуем это выражение:
Очевидно, эта величина достигает своего минимума, когда , т.е. когда момент берется относительно точки .
Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент .
Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение :
Согласно определению центрального момента
т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.
Заменяя в выражении (5.7.13) величину её выражением, имеем также:
. (5.7.14)
Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:
, (5.7.15)
(5.7.16)
Соответственно для прерывных и непрерывных величин.
Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».
Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).
Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины . Среднее квадратическое отклонение будем обозначать :
, (5.7.17)
Для упрощения записей мы часто будем пользоваться сокращенными обозначениями среднего квадратического отклонения и дисперсии: и . В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной величине относятся эти характеристики, мы будем иногда опускать значок х у и и писать просто и . Слова «среднее квадратическое отклонение» иногда будем сокращенно заменять буквами с.к.о.
На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через её второй начальный момент (вторая из формул (5.7.10)). В новых обозначениях она будет иметь вид:
Математическое ожидание и дисперсия (или среднее квардратическое отклонение ) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания распределения применяются моменты высших порядков.
Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю. Действительно, в сумме
при симметричном относительно законе распределения и нечетном каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что вся сумма равна нулю. То же, очевидно, справедливо и для интеграла
,
который равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.
Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов. Простейший из них есть третий центральный момент. Он имеет размерность куба случайной величины: чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на куб среднего квадратического отклонения. Полученная величина носит название «коэффициент асимметрии» или просто «асимметрии»; мы обозначим её :
На рис. 5.7.1 показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию (); другое (кривая II) – отрицательную ().
Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины называется величина
Число 3 вычитается из отношения потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе нормального закона распределения (с которым мы подробно познакомимся в дальнейшем) . Таки образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более островершинные по сравнении с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом.
На рис. 5.7.2 представлены: нормальное распределение (кривая I), распределение с положительным эксцессом (кривая II) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).
Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, на практике иногда применяются так называемые абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами
Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.
Из абсолютных моментов наиболее часто применяется первый абсолютный центральный момент
, (5.7.21)
называемый средним арифметическим отклонением. Наряду с дисперсией и средним квадратическим отклонением среднее арифметическое отклонение иногда применяется как характеристика рассеивания.
Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты и, в частности, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс представляют собой наиболее употребительные числовые характеристики случайных величин. Во многих задачах практики полная характеристика случайной величины – закон распределения – или не нужна, или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощь. Числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения.
Очень часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.
Пример 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие , вероятность которого равна . Рассматривается случайная величина – число появлений события (характеристическая случайная величина события ). Определить её характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Ряд распределения величины имеет вид:
где - вероятность непоявления события .
По формуле (5.6.1) находим математическое ожидание величины :
Дисперсию величины определяем по формуле (5.7.15):
(Предлагаем читателю получить тот же результат, выразив дисперсию через второй начальный момент).
Пример 2. Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. случайная величина – число попаданий. Определить характеристики величины – математическое ожидание, дисперсию, с.к.о., асимметрию.
Решение. Ряд распределения величины имеет вид:
Вычисляем числовые характеристики величины .
Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.
Начальным моментом k- го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины:
α К = М .
Для дискретной случайной величины
Ц
Х = Х – М[Х]
ентрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:Условимся отличать центрированную с.в. значком 0 наверху.
Центральным моментом S -го порядка называется математическое ожидание S-й степени центрированной случайной величины
S = M [(X – m x) S ].
Для дискретной случайной величины
S
=
(x i
– m x) S
p i .
Для непрерывной случайной величины
.
Свойства моментов случайных величин
начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию (по определению):
α 1 = М = m x .
центральный момент первого порядка всегда равен нулю (докажем на примере дискретной с. в.):
1
= M
[(X – m x) 1 ]
=
(x i
– m x)
p i
=
x i
p i
–
m x
p i
= m x –m x 
p i
=m x –m x =
0.
центральный момент второго порядка характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Центральный момент второго порядка называется дисперсией с. в. и обозначается D[X] или D x
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение σ х = √D x .
σ х – также как и D x характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания но имеет размерность случайной величины.
второй начальный момент α 2 характеризует степень разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания, а также смещение случайной величины на числовой оси
Связь первого и второго начальных моментов с дисперсией (на примере непрерывной с. в.):
третий центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень асимметрии распределения случайной величины.
f(x ср) > f(-x ср)
Для симметричных законов распределения m 3 = 0.
Для характеристики только степени асимметрии используется так называемый коэффициент асимметрии
Для симметричного закона распределения Sk = 0
четвертый центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень островершинности закона распределения.
Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х , принимающей конечное число значений х i с вероятностями р i , называется сумма:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f (x ):
(6б
)
Несобственный интеграл (6б ) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М (Х ) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х . Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.
Свойства математического ожидания:
Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:
Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М (Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:
(9)
Здесь m = М (Х ).
Свойства дисперсии:
Среднее квадратичное отклонение:
(11)
Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.
Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения . Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х 0 называется математическое ожидание М (Х – х 0 )k . Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментами и обозначаются:
(12)
Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины:
(13)
Моменты относительно центра распределения х = m называются центральными моментами и обозначаются:
(14)
Из (7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:
Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С
ее центр распределения сдвигается на то же значение С
, а отклонение от центра не меняется: Х
– m
= (Х
– С
) – (m
– С
).
Теперь очевидно, что дисперсия
– это центральный момент второго порядка
:
Асимметрия. Центральный момент третьего порядка:
(17)
служит для оценки асимметрии распределения . Если распределение симметрично относительно точки х = m , то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии :
(18)
Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).
Рис. 2. Виды асимметрии распределений.
Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка:
(19)
служит для оценки так называемого эксцесса , определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения, то в качестве эксцесса принимается величина:
(20)
На рис. 3 приведены примеры кривых распределения с различными значениями эксцесса. Для нормального распределения Е = 0. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.
Рис. 3. Кривые распределения с различной степенью крутости (эксцессом).
Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях математической статистики обычно не применяются.
Мода
дискретной
случайной величины – это ее наиболее вероятное значение. Модой
непрерывной
случайной величиныназывается ее значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2). Если кривая распределения имеет один максимум, то распределение называется унимодальным
. Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным
. Иногда встречаются распределения, кривые которых имеют не максимум, а минимум. Такие распределения называются антимодальными
. В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, для модального
, т.е. имеющего моду, симметричного распределения и при условии, что существует математическое ожидание, последнее совпадает с модой и центром симметрии распределения.
Медиана случайной величины Х – это ее значение Ме , для которого имеет место равенство: т.е. равновероятно, что случайная величина Х окажется меньше или больше Ме . Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределения делится пополам (рис. 2). В случае симметричного модального распределения медиана, мода и математическое ожидание совпадают.
