Какой закон представляет собой уравнение бернулли. Уравнение Бернулли. Определение

Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (8.1) Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (8.1) на и перейдем в нем к функции z(x) : , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y . При добавляется решение y(x)=0 . Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0 , следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x . Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (9.2).

Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y) , что и .

Действительно, поскольку , то (9.3) , где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y: . Но , следовательно, .Положим и тогда .Итак, построена функция , для которой , а .

Интегрирующий множитель.

Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y) , такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du , то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1 .

Если найден интегрирующий множитель µ , то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y , то .

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка: (10.1). Если заранее известно, что µ= µ(ω) , где ω – заданная функция от x и y , то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω : (10.2), где , т. е. дробь является функцией только от ω .

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель , с = 1. В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x ) или только от y (ω = y ), если выполнены соответственно следующие условия: , или , .

10. Свойства решений ЛДУ II-го порядка (с док-вом). Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид: , (2.1)

где , , и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a 0 (x) ≠ 0, поделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде: (2.2)

Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям , , если на рассматриваемом промежутке функции , и непрерывны. Если , то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае. Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение , где – произвольные числа.

Теорема. Если и – решение лоду , (2.3) то их линейная комбинация также будет решением этого уравнения.

Рассмотрим ламинарное движение идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости в изогнутой трубке разного диаметра. Мы уже знаем, что из уравнения непрерывности жидкости S⋅v = const. Какие ещё можно сделать выводы?

Рассмотрим трубку разного сечения:

Возьмём срез жидкости в трубке. Из уравнения непрерывности следует, что при уменьшении сечения трубы увеличивается скорость потока жидкости. Если скорость увеличивается, значит по второму закону Ньютона действует сила F = m⋅a. Эта сила возникает за счет разности давления между стенками сечения потока жидкости. Значит сзади давление больше, чем спереди сечения. Это явление впервые описал Даниил Бернулли.

Закон Бернулли

В тех участках течения жидкости, где скорость больше давление меньше и наоборот.

Как любое тело, жидкость при перемещении совершает работу, т.е. выделяет энергию или поглощает. Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою формулировку.

Рассмотрим, какую работу совершает жидкость:

• Работа давления жидкости (E P) . Давления жидкости выражается в том, что жидкость сзади давит на жидкость спереди.
• Работа по перемещению жидкости на высоту h (E h) . При опускании жидкости эта работа отрицательная, при поднятии - положительная.
• Работа по приданию скорости жидкости (E v) . При сужении трубки работа положительная, при расширении - отрицательная. Ещё это называют - кинетическая энергия или динамическое давление.

Так как мы рассматриваем идеальную жидкость, то трение отсутствует, а значит нет работы силы трения. Но в реальной жидкости она присутствует.

По закону сохранения энергии:

E p + E h + E v = const

Давайте теперь определим, чем равняется каждая из этих работ.

Работа давления жидкости (E P)

Формула давления имеет вид: P = F/S, F = P⋅S. Работа силы создающая давление:

E P = P⋅S⋅ΔL = P⋅V

Работа по перемещению жидкости на высоту h (E h)

Работа по перемещению жидкости на высоту h - это изменение потенциальной энергии которая равна:

E h = m⋅g⋅h = V⋅ρ⋅g⋅h

Работа по приданию скорости жидкости (E v)

Работа по приданию скорости жидкости - это кинетическая энергия, которая зависит от массы тела и его скорости и равна:

E k = m⋅v 2 /2 = V⋅ρ⋅v 2 /2

Получим формулу сохранения энергии жидкости:

P⋅V + V⋅ρ⋅g⋅h + V⋅ρ⋅v 2 /2 = const

Сократим каждое слагаемое на V. Получим уравнение:

Формула Бернулли

P + ρ⋅g⋅h + ρ⋅v 2 /2 = const

Разделим каждый член последнего уравнения ρ⋅g, получим

где h - геометрический напор, м;
P / ρ∙g - пьезометрический напор, м;
v 2 / 2g - скоростной напор, м.

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было получено Даниилом Бернулли в 1738 году.

Сумма трех членов уравнения называется полным напором.

Или можно сказать по-другому - для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.

Для стабильно текущего потока (газа или жидкости) сумма кинетической и потенциальной энергии, давления на единицу объема является постоянной в любой точке этого потока.

Первое и второе слагаемое в Законе Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. А третье слагаемое в нашей формула является работой сил давления и не запасает какую-либо энергию. Из этого можно сделать вывод, что размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости или газа.

Постоянная в правой части уравнения Бернулли называется полным давлением и зависит в общих случаях, только от линии потока.

Если у вас горизонтальная труба, то Уравнение Бернулли принимает некий другой вид. Так как h=0, то потенциальная энергия будет равняться нулю, и тогда получится:

Из Уравнения Бернулли можно сделать один важный вывод . При уменьшении сечения потока возрастает скорость движения газа или жидкости (возрастает динамическое давление ), но в этот же момент уменьшает статическое давление следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает.

Давайте узнаем, как же летают самолеты. Даниил Бернулли объединил законы механики Ньютона с законом сохранения энергии и условием неразрывности жидкости, и смог вывести уравнение (), согласно которому давление со стороны текучей среды (жидкость или газ) падает с увеличением скорости потока этой среды. В случае с самолетом воздух обтекает крыло самолета снизу медленне, чем сверху. И благодаря этому эффекту обратной зависимости давления от скорости давление воздуха снизу, направленное вверх, оказывается больше давления сверху, напрвленного вниз. В результате, по мере набора самолетом скорости, возрастает направленная вверх разность давлений, и на крылья самолета действует нарастающая по мере разгона подъемная сила. Как только она начинает превышать силу гравитационного притяжения самолета к земле, самолет в буквальном смысле взмывает в небо. Эта же сила удерживает самолет в горизонтальном полете: на крейсерской скорости и высоте подъемная сила уравновешивает силу тяжести.

В Формуле мы использовали:

Плотность жидкости или воздуха

При движении реальной жидкости, вследствие её вязкости, действуют гидравлические сопротивления, на преодоление которых затрачивается энергия. Эта энергия превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущей жидкостью.

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости имеет вид

где ─ потери напора на участке длинойвдоль оси струйки между двумя сечениями.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости имеет вид:

(3.9)

где
─ коэффициенты Кориолиса, учитывающие различие скоростей в разных точках сечения потока реальной жидкости.

На практике
: для ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах
; для турбулентного режима
.

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины
, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкостиυ 1 ω 1 = υ 2 ω 2 .

Гидравлические сопротивления

Движущийся поток жидкости на своем пути преодолевает силы трения жидкости о стенки трубы или канала и различные местные сопротивления, вследствие чего возникают потери удельной энергии. Потери напора различают двух видов:

Потери по длине потока ;

Потери на преодоление местных сопротивлений
.

Полные потери напора равны сумме всех потерь

(3.10)

Потери напора по длине

При равномерном движении в трубах потери напора по длине, как при турбулентном, так и при ламинарном движении определяются для круглых труб по формуле Дарси

(3.11)

а для труб любой другой формы сечения по формуле

(3.12)

В некоторых случаях также используют формулу

(3.13)

Потери давления на трение по длине
, Па, определяются по формуле

(3.14)

где ─ длина участка трубы или канала, м;

─эквивалентный диаметр, м;

─средняя скорость течения, м/с;

─гидравлический радиус трубы, м;

─коэффициент гидравлического трения;

─коэффициент Шези, связанный с коэффициентом гидравлического трения зависимостями

;

В зависимости от режима движения применяются различные формулы для определения коэффициента гидравлического трения.

При ламинарном движении по трубам круглого сечения коэффициент гидравлического трения определяется по формуле

(3.15)

а для труб любой формы сечения

(3.16)

где А ─ коэффициент, численное значение которого зависит от формы поперечного сечения трубы.

Тогда формула для определения потерь напора по длине при ламинарном режиме принимает вид

(3.17)

Впервые наиболее исчерпывающие работы по определению были даны И.И. Никурадзе, который на основе опытных данных построил график зависимости
от
для ряда значений
. Опыты Никурадзе были проведены на трубах с искусственно заданной шероховатостью, полученной путем приклейки песчинок определенного размера на внутренние стенки трубопровода. Результаты этих исследований представлены на рисунке 3.5, где построены зависимости
от
для ряда значений
.

Прямая I соответствует ламинарному режиму движения жидкости в соответствии с выражением (3.15).

При турбулентном режиме различают три области гидравлических сопротивлений, установленных в результате опытов, проведенных Никурадзе (см. рисунок 3.5)

Рисунок 3.5 ─ График Никурадзе

Первая область ─ область малых
и
, где коэффициентне зависит от шероховатости, а определяется лишь числом
(отмечена на рисунке 3.5 прямой II).

Это область гидравлически гладких труб . Если число Рейнольдса лежит в диапазоне коэффициентопределяется по полуэмпирической формуле Блазиуса

. (3.18)

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 - 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.

Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли (не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли .

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).

Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли . В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины - гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.