Дифференциальный расчет. Что значит "дифференциальное исчисление"

Дифференциальное исчисление является разделом математического анализа, который изучает производную, дифференциалы и их использование при исследовании функции.

История появления

Дифференциальное исчисление выделилось в самостоятельную дисциплину во второй половине 17 века, благодаря трудам Ньютона и Лейбница, которые сформулировали основные положения в исчислении дифференциалов и заметили связи между интегрированием и дифференцированием. С того момента дисциплина развивалась вместе с исчислением интегралов, составляя тем самым основу математического анализа. Появление данных исчислений открыло новый современный период в математическом мире и вызвало возникновение новых дисциплин в науке. Также расширило возможность применения математической науки в естествознании и технике.

Основные понятия

Дифференциальное исчисление базируется на фундаментальных понятиях математики. Ими являются: непрерывности, функция и предел. Спустя время они приняли современный вид, благодаря интегральным и дифференциальным исчислениям.

Процесс создания

Формирование дифференциального исчисления в виде прикладного, а затем и научного метода произошло перед возникновением философской теории, которую создал Николай Кузанский. Его работы считаются эволюционным развитием из суждений античной науки. Несмотря на то что сам философ математиком не был, его вклад в развитие математической науки неоспорим. Кузанский один из первых ушел от рассмотрения арифметики как максимально точной области науки, поставив математику того времени под сомнения.

У античных математиков универсальным критерием была единица, в то время как философ предложить в качестве новой меры бесконечность взамен точного числа. В связи с этим инвертируется представление точности в математической науке. Научное знание, по его представлению, делится на рассудочное и интеллектуальное. Второе является более точным, по мнению ученого, поскольку первое дает лишь приблизительный результат.

Идея

Основная идея и понятие в дифференциальном исчислении связаны с функцией в малых окрестностях определенных точек. Для этого необходимо создать математический аппарат для исследований функции, поведение которой в малой окрестности установленных точек близко к поведению многочлена или линейной функции. Основано это на определении производной и дифференциала.

Появление было вызвано большим число задач из естественных наук и математики, которые приводили к нахождению значений пределов одного типа.

Одной из основных задач, которые даются как пример, начиная со старших классов школы, является определение скорости движения точки по прямой линии и построение касательной линии к этой кривой. Дифференциал связан с этим, поскольку есть возможность приблизить функцию в малой окрестности рассматриваемой точки линейной функции.

По сравнению с понятием производной функции действительной переменной, определение дифференциалов просто переходит на функцию общей природы, в частности на изображение одного евклидова пространства на другое.

Производная

Пусть точка движется по направлению оси Оу, за время возьмем х, которое отсчитывается от некоего начала момента. Описать такое перемещение можно по функции у=f(x), которая ставится в соответствие каждому временному моменту х координаты перемещаемой точки. Данную функцию в механике принять звать законом движения. Основной характеристикой движения, в особенности неравномерного, является Когда точка перемещается по оси Оу согласно закону механики, то в случайный временной момент х она приобретает координату f(x). Во временной момент х + Δх, где Δх обозначает приращение времени, ее кордината будет f(х + Δх). Так формируется формула Δy = f(х + Δх) - f(х), которую называют приращением функции. Она представляет собой пройденный точкой путь за время от х до х + Δх.

В связи с возникновением этой скорости в момент времени вводится производная. В произвольной функции производную в фиксированной точке называют пределом (при условии его существования). Обозначаться она может определенными символами:

f’(х), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Процесс вычисления производной именуют дифференцированием.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Данный метод исчисления применятся при исследовании функции с несколькими переменными. При наличии двух переменных х и у, частная производная по х в точке А зовется производной этой функции по х с фиксированным у.

Может обозначаться следующими символами:

f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)’/∂x.

Необходимые навыки

Чтобы успешно изучить и уметь решать диффуры, требуются навыки в интегрировании и дифференцировании. Чтобы было легче разобраться в дифференциальных уравнениях, следует хорошо понимать тему производной и Также не помешает научиться искать производную от неявно заданной функции. Связано это с тем, что в процессе изучения придется часто использовать интегралы и дифференцирование.

Типы дифференциальных уравнений

Практически во всех контрольных работах, связанных с существует 3 вида уравнений: однородные, с разделяющимися переменными, линейные неоднородные.

Имеются и более редкие разновидности уравнений: с полными дифференциалами, уравнения Бернулли и прочие.

Основы решения

Для начала следует вспомнить алгебраичные уравнения из школьного курса. В них содержатся переменные и числа. Для решения обычного уравнения следует найти множество чисел, удовлетворяющих заданному условию. Как правило, такие уравнения имели одни корень, и для проверки правильности следовало лишь подставить это значение на место неизвестной.

Дифференциальное уравнение схоже с этим. В общем случае такое уравнение первого порядка включает:

• Независимую переменную.
• Производную первой функции.
• Функцию или зависимую переменную.

В отдельных случаях может отсутствовать одна из неизвестных, х или у, однако это не столь важно, так как необходимо наличие первой производной, без производных высших порядков, чтобы решение и дифференциальное исчисление были верны.

Решить дифференциальное уравнение - это значит отыскать множество всех функций, подходящих заданному выражению. Подобное множеств функций часто называется общим решением ДУ.

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление является одним из разделов математического анализа, который изучает понятие интеграла, свойства и методы его вычисления.

Зачастую вычисление интеграла встречается при вычислении площади криволинейной фигуры. Под этой площадью подразумевается предел, к которому стремится площадь вписанного в заданную фигуру многоугольника с постепенным возрастанием его стороны, при этом данные стороны могут быть выполнены менее всякого ранее указанного произвольного малого значения.

Главная идея в вычислении площади произвольной геометрической фигуры состоит в подсчёте площади прямоугольника, то есть доказательстве, что его площадь равняется произведению длины на ширину. Когда речь идет о геометрии, то все построения производятся при помощи линейки и циркуля, и тогда отношение длины к ширине является рациональным значением. При подсчете площади прямоугольного треугольника можно определить, что если отложить такой же треугольник рядом, то образуется прямоугольник. В параллелограмме площадь подсчитывается подобным, но чуть более усложненным методом, через прямоугольник и треугольник. В многоугольниках площадь считают через входящие в него треугольники.

При определении пощади произвольной кривой данный метод не подойдет. Если разбить её на единичные квадраты, то останутся незаполненные места. В этом случае пытаются использовать два покрытия, с прямоугольниками сверху и снизу, в результате те включают график функции и не включают. Важным здесь остается способ разбивания на эти прямоугольники. Также если брать разбивания все более уменьшающиеся, то площадь сверху и снизу должна сойтись на определенном значении.

Следует вернуться к способу разделения на прямоугольники. Имеется два популярных метода.

Риманом было формализовано определение интеграла, созданное Лейбницем и Ньютоном, как площади подграфика. В этом случае были рассмотрены фигуры, состоящие из некоторого числа вертикальных прямоугольников и полученные при разделении отрезка. Когда при уменьшении разбивания имеется предел, к которому сводится площадь подобной фигуры, этот предел называют интегралом Римана функции на заданном отрезке.

Вторым методом является построение интеграла Лебега, состоящее в том, что за место разделения определяемой области на части подынтегральной функции и составления затем интегральной суммы из полученных значений в этих частях, на интервалы делится её область значений, а после суммируется с соответствующими мерами прообразов этих интегралов.

Современные пособия

Одно из основных пособий по изучению дифференциального и интегрального исчисления написал Фихтенгольц - "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Его учебник является фундаментальным пособием по изучению математического анализа, который выдержал много изданий и переводов на другие языки. Создан для студентов вузов и долгое время применяется во множестве учебных заведений как одно из основных пособий по изучению. Дает теоретические данные и практические умения. Впервые издан в 1948 году.

Алгоритм исследования функции

Чтобы исследовать методами дифференциального исчисления функцию, необходимо следовать уже заданному алгоритму:

1. Найти область определения функции.
2. Найти корни заданного уравнения.
3. Подсчитать экстремумы. Для этого следует вычислить производную и точки, где она равняется нулю.
4. Подставляем полученное значение в уравнение.

Разновидности дифференциальных уравнений

ДУ первого порядка (иначе, дифференциальное исчисление одной переменной) и их виды:

• Уравнение с разделяющимися переменными: f(y)dy=g(x)dx.
• Простейшие уравнения, или дифференциальное исчисление функции одной переменной, имеющие формулу: y"=f(x).
• Линейное неоднородное ДУ первого порядка: y"+P(x)y=Q(x).
• Дифференциальное уравнение Бернулли: y"+P(x)y=Q(x)y a .
• Уравнение с полными дифференциалами: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Дифференциальные уравнения второго порядка и их виды:

• Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными значениями коэффициента: y n +py"+qy=0 p, q принадлежит R.
• Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным значением коэффициентов: y n +py"+qy=f(x).
• Линейное однородное дифференциальное уравнение: y n +p(x)y"+q(x)y=0, и неоднородное уравнение второго порядка: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Дифференциальные уравнения высших порядков и их виды:

• Дифференциальное уравнение, допускающие понижение порядка: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
• Линейное уравнение высшего порядка однородное: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0 , и неоднородное: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x) .

Этапы решения задачи с дифференциальным уравнением

С помощью ДУ решаются не только математические или физические вопросы, но и различные проблемы из биологии, экономики, социологии и прочего. Несмотря на большое разнообразие тем, следует придерживаться единой логической последовательности при решении подобных проблем:

1. Составление ДУ. Один из наиболее сложных этапов, который требует максимальный точности, поскольку любая ошибка приведет к полностью неверным итогам. Следует учитывать все факторы, влияющие на процесс, и определить начальные условия. Также следует основываться на фактах и логических выводах.
2. Решение составленного уравнения. Этот процесс проще первого пункта, поскольку требует лишь строгого выполнения математических подсчетов.
3. Анализ и оценка полученных итогов. Выведенное решение следует оценить для установки практической и теоретической ценности результата.

Пример использования дифференциальных уравнений в медицине

Использование ДУ в области медицины встречается при построении эпидемиологической математической модели. При этом не стоит забывать, что данные уравнения также встречаются в биологии и химии, которые близки к медицине, потому что в ней немаловажную роль играет исследование разных биологических популяций и химических процессов в теле человека.

В приведённом примере с эпидемией можно рассматривать распространение инфекции в изолированном обществе. Обитатели подразделяются на три вида:

• Инфицированные, численность x(t), состоявшие из особей, носителей инфекции, каждый из которых заразен (инкубационный период короткий).
• Второй вид включает восприимчивых особей y(t), способных заразиться при контактировании с инфицированными.
• Третий вид включает в себя невосприимчивых особей z(t), которые имеют иммунитет или погибли из-за болезни.

Количество особей постоянно, учет рождения, естественных смертей и миграции не учитывается. В основе будет иметься две гипотезы.

Процент заболеваемости в определённый временной момент равняется x(t)y(t) (основывается предположение на теории, что число заболевших пропорционально количеству пересечений между больными и восприимчивыми представителями, которое в первом приближении будет пропорционально x(t)y(t)), в связи с этим количество заболевших возрастает, а число восприимчивых уменьшается со скоростью, которая вычисляется по формуле ax(t)y(t) (a > 0).

Число невосприимчивых особей, которые приобрели иммунитет или погибли, возрастает со скоростью, которая пропорциональна количеству заболевших, bx(t) (b > 0).

В итоге можно составить систему уравнений с учетом всех трех показателей и на её основе сделать выводы.

Пример использования в экономике

Дифференциальное исчисление часто применяется при экономическом анализе. Основной задачей в экономическом анализе считается изучение величин из экономики, которые записаны в форму функции. Это используется при решении задач вроде изменения дохода сразу после увеличения налогов, ввода пошлин, изменения выручки компании при изменении стоимости продукции, в какой пропорции можно заменить выбывших работников новым оборудованием. Чтобы решить такие вопросы, требуется построить функцию связи из входящих переменных, которые после изучаются с помощью дифференциального исчисления.

В экономической сфере часто необходимо отыскать наиболее оптимальные показатели: максимальную производительность труда, наивысший доход, наименьшие издержки и прочее. Каждый такой показатель является функцией из одного или нескольких аргументов. К примеру, производство можно рассмотреть как функцию из затраты труда и капитала. В связи с этим нахождение подходящего значения можно свести к отысканию максимума или минимума функции из одной или нескольких переменных.

Такого рода задачи создают класс экстремальных задач в экономической области, для решения которых необходимо дифференциальное исчисление. Когда экономический показатель требуется минимизировать или максимизировать как функцию от другого показателя, то в точке максимума отношение приращения функции к аргументам будет стремиться к нулю, если приращение аргумента стремится к нулевому значению. Иначе же, когда подобное отношение стремится к некому положительному или отрицательному значению, указанная точка не является подходящей, потому что при увеличении или уменьшении аргумента можно поменять зависимую величину в необходимом направлении. В терминологии дифференциального исчисления это будет значить, что требуемым условием для максимума функции является нулевое значение её производной.

В экономике нередко встречаются задачи на нахождение экстремума функции с несколькими переменными, потому что экономические показатели складываются из многих факторов. Подобные вопросы хорошо изучены в теории функций нескольких переменных, применяющей методы дифференциального вычисления. Подобные задачи включают в себя не только максимизируемые и минимизируемые функции, но и ограничения. Подобные вопросы относятся к математическому программированию, и решаются они с помощью специально разработанных методов, также опирающихся на этот раздел науки.

Среди методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, важным разделом является предельный анализ. В экономической сфере этот термин обозначает совокупность приемов исследования изменяемых показателей и результатов при смене объемов создания, потребления, основываясь на анализе их предельных показателей. Предельным показателем считается производная или частные производные при нескольких переменных.

Дифференциальное исчисление нескольких переменных - немаловажная тема из области математического анализа. Для подробного изучения можно использовать различные учебные пособия для высших учебных заведений. Одно из наиболее известных создал Фихтенгольц - "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Как заметно из названия, для решения дифференциальных уравнений немалое значение имеют навыки в работе с интегралами. Когда имеет место дифференциальное исчисление функции одной переменной, решение становится проще. Хотя, надо заметить, оно подчиняется тем же основным правилам. Чтобы на практике исследовать функцию дифференциальным исчислением, достаточно следовать уже имеющемуся алгоритму, который дается в старших классах школы и лишь немногим осложняется при вводе новых переменных.

дифференциальное исчисление

раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали основные положения Д. и. и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени Д. и. развивается в тесной связи с интегральным исчислением (См. Интегральное исчисление), вместе с которым оно составляет основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587).

Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (См. Действительное число) (числовая прямая), Функция, Предел, Непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили современное содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Основная идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее: Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них - определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является математическим выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из основных понятий современного нелинейного функционального анализа (См. Функциональный анализ).

Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за некоторый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s = gt 2 /2, где s - пройденный путь с начала падения (в метрах), t - время падения (в секундах), g - постоянная величина, ускорение свободного падения, g ≈ 9,81 м/сек 2 . За первую секунду падения тело пройдёт около 4,9 м , за вторую - около 14,7 м , а за десятую - около 93,2 м , т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t ; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t , но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Δt равна

Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Δt приближается к величине gt , которую называют скоростью движения в момент времени t . Таким образом, скорость движения в какой-либо момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.

В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t , промежутка времени от t до t + Δt и закона движения, выражаемого формулой s = f (t ). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t до t + Δt даётся формулой Δs/Δt , где Δs = f (t + Δt ) - f (t ), а скорость движения в момент времени t равна

Основное преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t , а не функцией интервала (t , t + Δt ). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.

К выражению типа (*) приводит и задача (см. рис. ) построения касательной (См. Касательная) к плоской кривой в некоторой её точке М . Пусть кривая Г есть график функции у = f (x ). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла α, образованного касательной с осью Ox . Обозначим через x 0 абсциссу точки М , а через x 1 = x 0 + Δх - абсциссу точки M 1 . Угловой коэффициент секущей MM 1 равен

где Δy = M 1 N = f (x 0 + Δx ) - f (x 0 ) - приращение функции на отрезке [x 0 , x 1 ]. Определяя касательную в точке М как предельное положение секущей MM 1 , когда x 1 стремится к x 0 , получаем

Отвлекаясь от механического или геометрического содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f (x ) в точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, так что

где Δq - положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время Δt ; скорость химической реакции определяется как предел

где ΔQ - изменение количества вещества за время Δt ; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физическим величинам.

Производную функции y = f (x ) обозначают f" (x ), у" , dy/dx , df/dx или Df (х ). Если функция y = f (x ) имеет в точке х 0 производную, то она определена как в самой точке x 0 , так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x 0 . Обратное заключение было бы, однако, неверным. Например, непрерывная в каждой точке функция

графиком которой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т.к. отношение Δу/ Δх не имеет предела при Δx → 0: если Δх > 0, это отношение равно +1, а если Δx

Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

Таблица формул и правил дифференцирования

(C )´ = 0; (x n )´ = nx n-1 ;

(a х )´ = a x ln a и (e x )´ = e x ;

(log a x )´ = 1/x ln a и (ln x )´ = 1/x ;

(sin x )´ = cos x ; (cos x )´ = – sin x ;

(tg x )´ = 1/cos 2 x ; (ctg x )´ = – 1/sin 2 x ;

(arc tg x )´ = 1/(1 + x 2 ).

[f (x ) ± g (x )]´ = f ´(x ) ± g ´(x );

[Cf (x )]´ = Cf ´(x );

[f (x ) g (x )]´ = f ´´(x ) g (x ) + f (x ) g ´(x );

если y = f (u ) и u = φ(x ), т. е. y = f [φ(x )], то dy/dx = (dy/du )․(du/dx ) = f" (u )φ"(x ).

Если производная f" (x ), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f (x ) и обозначают

у" , f" (x ), d 2 y/dx 2 , d 2 f/dx 2 или D 2 f (x ).

Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

Аналогично определяются и производные более высокого (целого) порядка. Производная порядка n обозначается

y n , f n (x ), d n y/dx n , d n f/dx n или D n f (x ).

Дифференциал. Функция у = f (x ), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х 0 , называется дифференцируемой в точке x 0 , если её приращение

Δy = f (x 0 + Δx ) - f (x 0 )

можно записать в форме

Δу = А Δх + αΔх ,

где А = А (x 0 ), α = α(х , x 0 ) → 0 при х → x 0 . В этом и только в этом случае выражение AΔx называется дифференциалом функции f (x ) в точке x 0 и обозначается dy или df (x 0 ). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении x 0 и меняющемся приращении Δx ) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис. ). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х 0 , так и от приращения Δх . Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х 0 , dy есть линейная функция от Δх и разность Δy - dy есть бесконечно малая относительно Δx . Для функции f (x ) ≡ х имеем dx = Δх , т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx . Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x 0 дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f" (x 0 ), и справедливо равенство dy = f" (x 0 ) dx . Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x 0 примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х 0 ) = f" (x 0 ); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f" (x 0 ), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f" (x 0 ) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции f (x ) в точке х , если известны f (x 0 ) и f" (x 0 ). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

f (x 1 ) ≈ f (x 0 ) + df (x 0 ) = f (x 0 ) + f" (x 0 ) (x 1 - x 0 ).

Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.

1/2 d 2 f = 1/2 f" (x 0 )(x 1 – x 0 ) 2 .

Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f (a) - f (b ) = f" (c )(b - а ), где a с b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

Эти предложения позволяют методами Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, Выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций (См. Возрастание и убывание функции), их Экстремумы, найти их асимптоты (См. Асимптота), точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну (См. Кривизна) кривой, выяснить характер её особых точек (См. Особая точка) и т.д. Например, условие f" (x ) > 0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f (x ), а условие f" (x ) > 0 - её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f" (x ) = 0.

Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида 0/0 и ∞/∞ (см. Неопределённое выражение (См. Неопределённые выражения), Лопиталя правило). Д. и. особенно удобно для исследования элементарных функций, т.к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.

Д. и. функций многих переменных. Методы Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х , у ) частной производной по х называется производная этой функции по х при постоянном у . Эта частная производная обозначается z" x , f" x (x , y ), ∂z/ ∂х или ∂f (x , y )/∂x , так что

Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у . Величина

Δz = f (x + Δx , y + Δy ) - f (x , y )

называется полным приращением функции z = f (x , y ). Если его можно представить в виде

Δz = A Δx + В Δу + α,

где α - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками (х , у ) и (х + Δх , у + Δу ), то говорят, что функция z = f (x , y ) дифференцируема. Слагаемые А Δх + В Δу образуют полный дифференциал dz функции z = f (x , y ), причём А = z" x , B = z" y . Вместо Δx и Δy обычно пишут dx и dy , так что

Геометрически дифференцируемость функции двух переменных означает существование у её графика касательной плоскости, а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости, когда независимые переменные получают приращения dx и dy . Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции. Однако, если частные производные кроме того ещё непрерывны, то функция дифференцируема.

Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные ∂ 2 f/ ∂х 2 и ∂ 2 f/ ∂у 2 , в которых дифференцирование ведётся по одному переменному, называют чистыми, а частные производные ∂ 2 f/ ∂x ∂y и ∂ 2 f/ ∂у ∂х - смешанными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они между собой равны. Все эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.

Историческая справка. Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Д. и.

Эпохой создания Д. и. как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математического аппарата - при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.

Около 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Основные задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость - флюксией. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.

В середине 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Д. и. Основными понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла ∫ydx , ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин «дифференциальное исчисление». Дальнейшее развитие Д. и. шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.

Следующим этапом в развитии Д. и. были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул к качестве основного понятия Д. и. производную. Лагранж пытался строить Д. и. алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина «производная» и обозначения у" или f" (x ). В начале 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Д. и. на основе теории пределов. Это было выполнено главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в конце 19 - начале 20 вв.

Лит.: История. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - В., 1901-24.

Работы основоположников и классиков Д. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М. - Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Л"Опиталь Г. Ф. де, Анализ бесконечно малых, пер. с франц., М. - Л., 1935; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; его же, Дифференциальное исчисление, пер. с латин., М. - Л., 1949; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

Учебники и учебные пособия по Д. и. Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., М., 1957; его же, Восемь лекций по математическому анализу, 3 изд., М. - Л., 1948; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 1, Л. - М., 1933; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Банах С., Дифференциальное и интегральное исчисление, пер. с польск., 2 изд., М., 1966; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.

Под редакцией С. Б. Стечкина.

• - многозначное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение с многозначной правой часть ю,- соотношение где x=x- неизвестная вектор-функция на нек-ром интервале, F- множество в n-мерном пространстве, зависящее...

  Математическая энциклопедия

• - на аналитических пространствах - обобщение классич. исчисления дифференциальных форм и дифференциальных операторов на случай аналитич. ространств...

  Математическая энциклопедия

• - кольцо, в к-ром отмечено одно или несколько дифференцирований. Если d = 0 для всех этих дифференцирований, то аназ. константой. Л. А. Скорняков...

  Математическая энциклопедия

• - неравенство, связывающее аргумент, неизвестную функцию и ее производные, напр., где у- неизвестная функция аргумента х. Основная проблема теории Д. н.- по заданному Д. н. и дополнительным условиям...

  Математическая энциклопедия

• - дифференциальное кольцо, являющееся полем. Множество констант Д. п. является подполем, оно наз. полем констант...

  Математическая энциклопедия

• - в нефтяной гидрогеологии давление, под которым нефть и газ перемещаются из пласта в скважину, оно равно разности между гидродинамическим и пластовым давлением...

  Геологическая энциклопедия

• - в нефтяной гидрогеологии - давление, под которым нефть и газ перемещаются из пласта в скважину и которое равно разности между динамическим и пластовым давлением, т. е. давлением на забое скважины при ее...

  Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии

• - Differential coating - . Различные покрытия на разных участках поверхности изделий...

  Словарь металлургических терминов

• - уравне ние, связывающее искомую функцию, её производные и независимые переменные, напр. dy = 2xdx. Решением или интегралом Д. у. наз. ф-ция, при подстановке к-рой в Д. у. последнее обращается в тождество...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - Уравнение, определяющее зависимость переменной от ее собственных производных с учетом времени, которое рассматривается как непрерывная переменная...

  Экономический словарь

• - Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций...

  Большая Советская энциклопедия

• - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ исчисление - раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций...

  "Дифференциальное исчисление" в книгах

ИСЧИСЛЕНИЕ