Брошены две игральные кости вероятность того что. Вероятность игральной кости

Задачи 1.4 - 1.6

Условие задачи 1.4

Указать ошибку "решения" задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А). "Решение". Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один исход, общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность равна P(A) = 1/2.

Решение задачи 1.4

Ошибка этого "решения" состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными. Правильное решение: общее число равновозможных исходов равно (каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию только два исхода: (1; 2) и (2; 1). Значит, искомая вероятность

Ответ:

Условие задачи 1.5

Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение - четырем.

Решение задачи 1.5

а) Шесть вариантов на первой кости, шесть - на второй. Всего вариантов: (по правилу произведения). Варианты для суммы, равной 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) - всего шесть вариантов. Значит,

б) Всего два подходящих варианта: (6,2) и (2,6). Значит,

в) Всего два подходящих варианта: (2,6), (6,2). Но всего возможных вариантов 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Значит, .

г) Для суммы, равной 5, подходят варианты: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2). Произведение равно 4 только для двух вариантов. Тогда

Ответ: а) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; г) 1/18

Условие задачи 1.6

Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на удачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а)одну; б)две; в)три.

Решение задачи 1.6

Всего образовалось 1000 кубиков. Кубиков с тремя окрашенными гранями: 8 (это угловые кубики). С двумя окрашенными гранями: 96 (так как 12 ребер куба с 8 кубиками на каждом ребре). Кубиков с окрашенной гранью: 384 (так как 6 граней и на каждой грани 64 кубика). Осталось разделить каждое найденное количество на 1000.

Ответ: а) 0,384; б) 0,096 в) 0,008

Во всех заданиях В6 на теорию вероятностей, которые представлены в Открытом банке заданий для , требуется найти вероятность какого-либо события.

Нужно знать всего лишь одну формулу , с помощью которой вычисляется вероятность :

В этой формуле р - вероятность события,

k - число событий, которые нас "устраивают", на языке теории вероятностей они называются благоприятными исходами .

n - число всех возможных событий, или число всех возможных исходов .

Очевидно, что число всех возможных событий больше, чем число благоприятных исходов, поэтом вероятность - это величина, которая меньше или равна 1.

Если вероятность события равна 1, это значит, что данное событие обязательно произойдет. Такое событие называется достоверным . Например, то, что после воскресенья будет понедельник, является, к сожалению, достоверным событием и его вероятность равна 1.

Наибольшие сложности при решении задач возникают именно с нахождением чисел k и n.

Разумеется, как при решении любых задач, при решении задач на теорию вероятностей нужно внимательно читать условие, чтобы правильно понять что дано, и что требуется найти.

Рассмотрим несколько примеров решения задач из из Открытого банка заданий для .

Пример1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Пусть на первой кости выпало одно очко, тогда на второй может выпасть 6 различных вариантов. Таким образом, поскольку у первой кости 6 различных граней, общее число различных вариантов равно 6х6=36.

Но нас устраивают не все. По условию задачи, сумма выпавших очков должна быть равна 8. Составим таблицу благоприятных исходов:

Мы видим, что число исходов, которые нас устраивают, равно 5.

Таким образом, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков равна 5/36=0,13(8).

Еще раз читаем вопрос задачи: требуется результат округлить до сотых.

Вспомним правило округления .

Нам нужно округлить до сотых. Если в следующем после сотых долей разряде (то есть в разряде тысячных) стоит число, которое больше или равно 5, то к числу, стоящему в разряде сотых прибавляем 1, если это число меньше 5, то число в разряде сотых оставляем без изменения.

В нашем случае в разряде тысячных стоит 8, поэтому число 3, которое стоит в разряде сотых, увеличиваем на 1.

Итак, p=5/36 ≈0,14

Ответ: 0,14

Пример 2. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

В этой задаче число возможных исходов равно 20 - это число всех спортсменов.

Найдем число благоприятных исходов. Оно равно числу спортсменок из Китая.

Таким образом,

Ответ: 0,25

Пример 3. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

В этой задаче n=1000.

Нас интересуют насосы, которые не подтекают. Их число равно 1000-5=995. Т.е.

Ответ оставил Гость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле P=m/n
P
=
m
n
, где n
n
- число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а m
m
- число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче n=6
n
=
6
. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней m=3
m
=
3
. Тогда искомая вероятность равна P=3/6=1/2=0.5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика n=6
n
=
6
, а условию "выпало не менее 5 очков", то есть "выпало или 5, или 6 очков" удовлетворяют 2 исхода, m=2
m
=
2
. Нужная вероятность равна P=2/6=1/3=0.333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали - число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):

таблица очков при бросании 2 игральных костей
А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков - запишем туда сумму, про разность - запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней - 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида (x,y)
x
,
y
, где x
x
- сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), y
y
- сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

таблица суммы очков при бросании 2 игральных костей
Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию "в сумме выпадет менее 5 очков" исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет m=6
m
=
6
:

таблица суммы очков менее 5 при бросании 2 игральных костей
Тогда вероятность равна: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

таблица произведения очков при бросании 2 игральных костей
Остается только записать, что общее число исходов n=36
n
=
36
(см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) m=20
m
=
20
. Тогда вероятность события будет равной P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

таблица разности очков при бросании 2 игральных костей
Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов n=36
n
=
36
, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) m=10
m
=
10
. Тогда вероятность события будет равной P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Педагогические технологии : Технология объяснительно-иллюстрированного обучения, компьютерная технология, личностно-ориентированный подход в обучении, здоровьесберегающие технологии.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Продолжительность: 1 урок.

Класс: 8 класс.

Цели урока:

Обучающие:

повторить навыки применения формулы для нахождения вероятности событии и научить применять её в задачах с игральными кубиками;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения.

Развивающие:

развить навыки поиска, обработки и представления информации;
развить умение сравнивать, анализировать, делать выводы;
развить наблюдательность, а также коммуникативные умения.

Воспитательные:

воспитать внимательность, усидчивость;
сформировать понимание значимости математики как способа познания окружающего мира.

Оборудование урока: компьютер, мультимедиа, маркеры, копи-устройство mimio (или интерактивная доска), конверт (в нем находится задание для практической работы, домашней работы, три карточки: желтого, зеленого, красного цветов), модели игральных кубиков.

План урока

Организационный момент.

На предыдущем уроке мы познакомились с формулой классической вероятности.

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов .

Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша. Эта формула применяется для опытов с конечным числом равновозможных исходов.

Вероятность события = Число благоприятных исходов / число всех равновозможных исходов

Таким образом, вероятность – это число от 0 до 1.

Вероятность равна 0, если событие невозможное.

Вероятность равна 1, если событие достоверное.

Решим задачу устно: На книжной полке стоят 20 книг, из них 3 справочника. Какова вероятность, что взятая с полки книга не окажется справочником?

Решение:

Общее число равновозможных исходов – 20

Число благоприятных исходов – 20 – 3 = 17

Ответ: 0,85.

2. Получение новых знаний.

А теперь вернемся к теме нашего урока: “Вероятности событий”, подпишем её в своих тетрадях.

Цель урока: научиться решать задачи на нахождение вероятности при бросании кубика или 2-х кубиков.

Наша сегодняшняя тема связана с игральным кубиком или его еще называют игральной костью. Игральная кость известна с древности. Игра в кости - одна из древнейших, первые прообразы игральных костей найдены в Египте , и датируются они XX веком до н. э. Имеется множество разновидностей, от простых (выигрывает выкинувший большее количество очков) до сложных, в которых можно использовать различные тактики игры.

Самые древние кости датируются ХХ веком до н. э., обнаружены в Фивах. Первоначально кости служили орудием для гаданий. По данным археологических раскопок в кости играли повсеместно во всех уголках земного шара. Название произошло от первоначального материала - костей животных.

Древние греки считали, что кости изобрели лидийцы, спасаясь от голода, чтобы хоть чем-то занять свои умы.

Игра в кости получила отражение в древнеегипетской, греко-римской, ведической мифологии. Упоминается в Библии, “Илиаде”, “Одиссее”, “Махабхарате”, собрании ведических гимнов “Ригведа”. В пантеонах богов хотя бы один бог являлся обладателем игральных костей как неотъемлемого атрибута http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

После падения Римской Империи игра распространилась по Европе, особенно увлекались ей во времена Средневековья. Поскольку игральные кости использовались не только для игры, но и для гадания, церковь неоднократно пыталась запретить игру, для этой цели придумывались самые изощрённые наказания, но все попытки заканчивались неудачей.

Согласно данным археологии, в кости играли и в языческой Руси. После крещения православная церковь пыталась искоренить игру, но среди простого народа она оставалась популярной, в отличие от Европы, где игрой в кости грешила высшая знать и даже духовенство.

Война, объявленная властями разных стран игре в кости породила множество различных шулерских уловок.

В век Просвещения увлечение игрой в кости постепенно пошло на спад, у людей появились новые увлечения, их больше стали интересовать литература, музыка и живопись. Сейчас игра в кости не столько широко распространена.

Правильные кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения грани. Для этого все грани должны быть одинаковыми: гладкими, плоскими, иметь одинаковую площадь, скругления (если они имеются), отверстия должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях равна 7.

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности,- это математический образ правильной кости. Математическая кость не имеет ни размера, ни цвета, ни веса и т.д.

При бросании игральной кости (кубика ) может выпасть любая из шести ее граней, т.е. произойти любое из событий - выпадение от 1 до 6 точек (очков). Но никакие две и более граней одновременно появиться не могут. Такие события называют несовместными.

Рассмотрим случай, когда бросают 1 кубик. Выполним № 2 в виде таблицы.

Теперь рассмотрим случай, когда бросают 2 кубика.

Если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6.Получим пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи можно представить в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:

Таблица элементарных событий

У вас на парте лежит конверт.

Возьмите из конверта листок с заданиями.

Сейчас вы выполните практическое задание, воспользовавшись таблицей элементарных событий.

Покажите штриховкой события, благоприятствующие событиям:

Задание 1. “Выпало одинаковое число очков”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Задание 2. “Сумма очков равна 7”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Задание 3. “Сумма очков не меньше 7”.

Что значит “не меньше”? (Ответ - “больше, или равно”)

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

А теперь найдем вероятности событий, для которых в практической работе заштриховывали благоприятствующие события.

Запишем в тетрадях №3

Задание 1.

Общее число исходов - 36

Ответ: 1/6.

Задание 2.

Общее число исходов - 36

Число благоприятствующих исходов - 6

Ответ: 1/6.

Задание 3.

Общее число исходов- 36

Число благоприятствующих исходов - 21

Р = 21/36=7/12.

Ответ: 7/12.

№4. Саша и Влад играют в кости. Каждый бросает кость два раза. Выигрывает тот, у кого выпавшая сумма очков больше. Если суммы очков равны, игра оканчивается вничью. Первым бросал кости Саша, и у него выпало 5 очков и 3 очка. Теперь бросает кости Влад.

а) В таблице элементарных событий укажите (штриховкой) элементарные события, благоприятствующие событию “Выиграет Влад”.

б) Найдите вероятность события “Влад выиграет”.