С подвижными осями вращения. Графическое определение передаточного отношения

Деление передач на рядовые и ступенчатые имеет смысл, когда они содержат более двух подвижных звеньев. На рис. 17, а ,б показаны примеры рядовой и ступенчатой передач, соответственно.

Колёса рядовой передачи располагаются в одной плоскости или, иначе, в один ряд, отсюда и происходит название. В ступенчатой передаче каждая пара зацепляющихся колёс располагается в своей плоскости, образует свою ступень. На виде б) :1 ,2 - первая ступень; 3, 4 - вторая.

В рядовой передаче каждое звено содержит только одно зубчатое колесо. Номер звена и номер колеса совпадают. В ступенчатой передаче колёса 2 и3 располагаются на одной ступени (одном валу), поэтому иногда они обозначаются номером вала, на котором они располагаются, и различаются по индексу, например 2′, 2′′ или 2а, 2б. Номер звена не проставляется, так как содержится в обозначениях колёс.

Рядовая и ступенчатая передачи образуют класс передач с неподвижными осями колёс . Для любой такой передачи передаточное отношение от первого звена к последнему,n -му,равно произведению промежуточных передаточных отношений. Это правило выражается формулой

u1,n = u1,2u2,3... un-1,n , (12)

где индексы указывают номера звеньев. Для доказательства справедливости формулы представим каждое u в виде отношения скоростей:

ω1 = ω1ω2 Lωn −1 .

ωn ω2ω3ωn

После сокращений уравнение обращается в тождество, что и доказывает справедливость формулы (12). Формула справедлива для любой последовательной цепи механизмов. При этом uij (здесь и далее запятую опускаем) есть передаточное отношение отдельного механизма.

Применим формулу (12) к передачам, изображённым выше. Для рядовой передачи

u =u u u			z	2		−	z	3	−	z	4	=−	z	4	.
	=	−
	z	z	z
14 12 23	34				2			3		z
				1								1

Для ступенчатой передачи

			z2 ′		z3			z2 ′z3
u =u u =	−		−	=	.
z	z
13 12 23						z z
		1		2 ′′			1 2 ′′

Результаты показывают, что передаточное отношение рядовой передачи зависит от чисел зубьев только крайних колёс. Ступенчатая передача не обладает таким свойством. Знак «минус» в передаточном отношении u14 показывает, что колёса1 ,4 вращаются в разные стороны.

11. Дифференциальные и планетарные передачи. Формула Виллиса.

Сложные зубчатые механизмы, в которых ось хотя бы одного колеса подвижна, называются планетарными механизмами.

Планетарные механизмы подразделяются на планетарные редукторы и мультипликаторы, которые обладают одной степенью свободы и обязательно имеют опорное звено, и зубчатые дифференциальные механизмы, число степеней свободы которых два и более, и которые опорного звена обычно не имеют.

К типовым планетарным механизмам относятся:

· однорядный планетарный механизм со смешанным зацеплением (механизм Джеймса);

· двухрядный планетарный механизм со смешанным зацеплением;

· двухрядный планетарный механизм с двумя внешними зацеплениями;

· двухрядный планетарный механизм с двумя внутренними зацеплениями.

Элементы планетарного механизма имеют специальные названия:

· зубчатое колесо с внешними зубьями, расположенное в центре механизма называется "солнечным";

· колесо с внутренними зубьями называют "короной" или "эпициклом";

· колеса, оси которых подвижны, называют "сателлитами";

· подвижное звено, на котором установлены сателлиты, называют «водило». Это звено принято обозначать не цифрой, а латинской буквой h.

При вращении солнечного колеса сателлиты поворачиваются как рычаг относительно мгновенного центра вращения (опорное колесо неподвижно) и заставляют вращаться водило. При этом планетарные колеса (сателлиты) совершают сложное движение: вращаются вокруг собственной оси (относительно водила) с угловой скоростью и вместе с водилом обкатываются вокруг его оси (переносное движение). Число степеней свободы этого механизма равно единице. Поэтому редуктор имеет постоянное передаточное отношение.

Обычно у реального механизма имеется несколько симметрично расположенных блоков сателлитов . Их вводят с целью уменьшения габаритов механизма, снижения усилия в зацеплении, разгрузки подшипников центральных колес, улучшения уравновешивания водила, хотя механизм в этом случае имеет избыточные связи, т.е. является статически неопределимым. При кинематических расчетах учитывается один сателлит, так как остальные являются пассивными в кинематическом отношении.

Если в рассмотренном механизме освободить от закрепления опорное колесо (корпус редуктора) и сообщить ему вращение, то все центральные колеса станут подвижными и механизм превратится в дифференциальный, так как число степеней свободы его будет равно двум.

Таким образом, дифференциальный механизм – это планетарный механизм с числом степеней свободы .

Число степеней свободы (подвижности) механизма показывает, скольким звеньям дифференциала необходимо сообщить независимые движения, чтобы получить определенность движения всех остальных звеньев. Здесь в зависимости от направления вращения наружных валов может происходить либо разложение движения (одного ведущего на два ведомых), либо сложение движения. Ведущим считается такой вал, у которого направление скорости вращения и момента совпадают. Следовательно, планетарный редуктор (или мультипликатор), имеющий неподвижное колесо, можно превратить в дифференциал, если освободить неподвижное (опорное) колесо и сообщить ему вращение. Наоборот, любой дифференциал можно превратить в планетарный редуктор, если закрепить одно (при W = 2) или несколько из его центральных колес. Это так называемое свойство обратимости планетарных механизмов, которое позволяет применять одинаковые методы исследования и проектирования для редукторов и для дифференциалов. При этом каждому элементарному дифференциалу будут соответствовать два планетарных редуктора

В таблице приведены структурные схемы типовых планетарных механизмов, а также диапазоны рекомендуемых передаточных отношений и ориентировочные значения КПД при этих передаточных отношениях.

Типовые планетарные механизмы

№	Структурная схема механизма	Uред	КПД
		3....10	0.97....0.99
		7....16	0.96....0.98
		25....30	0.9....0.3
		30....300	0.9....0.3

Формула Виллиса

Формула Виллиса выводится на основании основной теоремы зацепления и устанавливает соотношение между угловыми скоростями зубчатых колес в планетарном механизме. Рассмотрим простейший планетарный механизм с одним внешним и одним внутренним зацеплением. Всему механизму сообщается угловая скорость равная по величине и противоположна по направлению угловой скорости водила, при этом водило остановится, а опорное колесо начнет поворачиваться. Таким образом, планетарный механизм превратится в механизм с неподвижными осями, состоящий из нескольких последовательно соединенных зубчатых колес. Такой механизм носит название обращенного механизма.

Угловые скорости звеньев в каждом из рассматриваемых движений приведены в таблице

В движении звеньев относительно водила угловые скорости звеньев равны угловым скоростям в движении относительно стойки минус угловая скорость водила. Если в движении относительно стойки ось сателлита подвижна, то в движении относительно водила оси обоих зубчатых колес неподвижны. Поэтому к движению относительно водила можно применить основную теорему зацепления.

Передаточное отношение обращенного механизма , окончательно передаточное отношение планетарного редуктора может быть определено по формуле Виллиса:

Передаточное отношение планетарного редуктора от любого колеса к водилу равно единице минус передаточное отношение обращенного механизма от этого колеса к опорному.

Кинематическое исследование пространственных планетарных механизмов методом планов угловых скоростей.

Рассмотрим этот метод исследования на примере планетарного механизма конического дифференциала заднего моста автомобиля. На рис. 15.8 изображена схема механизма и планы угловых скоростей.

Планы угловых скоростей строятся в соответствии с векторными уравнениями:

w2=w1+w21;

w4=w3+w43

w3=w2+w32 ;

w5=w3+w53

Вектора относительных угловых скоростей направлены по осям мгновенного относительного вращения:

w 21 - по линии контакта начальных конусов звеньев 2 и 1 ;
w 32 - по оси шарнира С ;
w 43 4 и 3 ;
w 53 - по линии контакта начальных конусов звеньев 5 и 3 .

Вектора абсолютных угловых скоростей направлены по осям кинематических пар, которые образуют звенья со стойкой:

w 2 - по оси пары В ;w 1 - по оси пары А ;
w 4 - по оси пары Е ; w 5 - по оси пары D .

Направление угловой скорости сателлита 3 определяется соотношением величин угловых скоростей w 2 и w 32 .

Рассмотрим три режима движения автомобиля:

прямолинейное движение w 4 = w 5 (векторная диаграмма на рис.15.8a). В этом режиме движения корпус дифференциала 2 и полуоси 4 и 5 вращаются с одинаковыми угловыми скоростями w 4 = w 5 = w 2 , а относительная угловая скорость сателлита w 32=0 .
поворот автомобиля направо w 4 w5 (векторная диаграмма на рис.15.8б). При повороте направо угловые скорости полуосей не равны и связаны неравенством w 4 w5 ,поэтому сателлит будет вращаться с такой угловой скоростью w 32 , которая обеспечивает постоянство угловой скорости корпуса дифференциала w 2.
буксование левого колеса w 4 = 0 (векторная диаграмма на рис.15.8в). При буксовании левого колеса, правое колесо останавливается w 4 = 0 , а левое будет вращаться с угловой скоростью w5 = 2Ч w 2 .

Для того, чтобы в условиях низкого сцепления колес с грунтом, уменьшить опасность их пробуксовывания в дифференциалы автомобилей высокой проходимости включают элементы трения или блокировки.

Контрольные вопросы к лекции 15

1. Какой зубчатый механизм называется сложным?(стр.1)

2. Какой механизм называется планетарным? (стр.1)

3. Как определить передаточное отношение одной из схем планетарного редуктора аналитическим способом?(стр.2-4)

4. Как используются графический и аналитический способы для определения угловых скоростей звеньев планетарных зубчатых механизмов?(стр.6-9)

5. Как устанавливаются кинематические зависимости в планетарном зубчатом механизме с коническими колесами?(стр.1-11)

6. Как используется графический способ для определения угловых скоростей звеньев дифференциалов?(стр.10-11)

7. Какова цель применения метода обращения движения при кинематическом анализе планетарных механизмов?(стр.4-6)

Центральное колесо 1 называется солнечным, а неподвижное 3 - коронным или корончатым. Зубчатое колесо 2 имеющее подвижную ось называется сателлитом. Звено Н называется водилом или поводком. Механизмы, в состав которых входят зубчатые колеса с подвижными осями называются планетарными или дифференциальными.

Планетарными (рис. 14 а) называются механизмы, имеющие одну степень свободы. Дифференциальные (рис. 14 б) механизмы имеют две и более степени свободы.

Эти механизмы обязательно должны быть соосными, то есть оси солнечных колёс должны располагаться на одной и той же прямой линии.

Рассмотрим дифференциальный механизм (рис. 15).

где: n=4; ; .

Таким образом определённость в движении звеньев этого механизма будет в том случае, если будут известны законы движения двух его ведущих звеньев.

Так как сателлиты имеют подвижные оси, то использовать формулы для расчёта передаточного отношения механизмов с неподвижными осями не представляется возможным. В этом случае прибегают к методу инверсии (метод обращённого движения).

Будем рассматривать движение всех колёс относительно водила. Всем звеньям зададим вращательное движение с угловой скоростью водила, но в обратном направлении и найдём скорости всех звеньев механизма. Для этого вычтем угловую скорость водила из всех угловых скоростей колёс.

Таблица 2.

№ Звеньев	Скорость звена в действительном движении (до инверсии)	Скорость звена в обращённом движении (после инверсии)


Колесо 2’

Механизм, полученный в результате инверсии (остановки водила) называется обращённым (рис. 16). В результате получили обычную зубчатую передачу с неподвижными осями.

Эту зависимость (1) называют формулой Виллиса для дифференциальных механизмов.

Если бы было n - колёс, то:

где s – солнечное колесо.

Дифференциальный механизм никакого определённого передаточного отношения не имеет, если ведущим является одно из звеньев (колесо или водило), и приобретает определённость, если ведущих колёс будет два.

Графическое определение передаточного отношения таких механизмов осуществляется методом планов скоростей (треугольников скоростей). Треугольник скоростей можно построить, если для звена известны линейные скорости не менее двух точек звена (по величине и направлению). Используя этот метод можно получить наглядное представление о характере изменения скоростей от одного вала колеса к другому, а также можно определить графически угловую скорость любого колеса.

,тогда

, где знак отношения определяется по знаку тангенса.

Передаточное отношение рядовых механизмов обычно не велико, так как оно ограничивается предельными размерами крайних колес (1,4), а числа зубьев промежуточных колес (2,3) не влияет на общую величину передаточного отношения. Применяют такие механизмы там, где необходимо изменить вращение ведомого вала, не изменяя при этом направление движения ведущего – коробки передач, либо при передаче движения на значительные расстояния, если нет возможности увеличить размеры ведущего и ведомого колес.

Кинематика ступенчатого зубчатого механизма

Рассмотрим кинематику ступенчатого механизма составленного из трех зубчатых передач: двух внешнего зацепления (1-2) и (3-4) и одной внутреннего зацепления(5-6). Схема механизма изображена на рис.

Аналитическое определение передаточного отношения

Аналитическое определение передаточного отношения основывается на формуле:

так как колеса 2-3 и 4-5 находятся на одном валу, соответственно вращаются с одинаковыми угловыми скоростями.

Используя основную теорему Виллиса, для заданного механизма получим:

На основе чего можно получить общую формулу для определения передаточного отношения ступенчатого редуктора:

Общее передаточное отношение ступенчатого зубчатого механизма равно отношению произведения чисел зубьев ведомых колес к произведению чисел зубьев ведущих колес. Знак передаточного отношения определяется множителем

, где- число передач внешнего зацепления.

Графическое определение передаточного отношения

Графическое определение передаточного отношения также осуществляется методом планов скоростей (треугольников скоростей).

где знак отношения определяется по знаку тангенса или по правилу стрелок.

За счет подбора чисел зубьев в ступенчатом механизме можно получить большие передаточные отношения при тех же габаритах, что у рядового.

Ступенчатые зубчатые механизмы часто применяются в коробках скоростей, где передаточное число меняется скачкообразно. Это позволяет, при постоянной угловой скорости на ведущем звене, сообщать выходному звену механизма разные по величине и направлению скорости, и воспроизводить любой ряд передаточных отношений с заданной закономерностью.