Определение. Последовательность {x n } называется фундаментальной (последовательностью Коши), если для любого e > 0 найдется номер N такой, что для всех номеров n , удовлетворяющих условию n >=N , и для любого натурального числа p (p=1,2,3…) справедливо неравенство:
|x n + p – x n | < e.
Теорема. (Критерий Коши) . Для того чтобы последовательность {x n } была сходящийся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство .
1) Необходимость . Пусть x n à a . Фиксируем произвольное e > 0. Так как последовательность {x n } сходится к пределу а , то для числа равного e/2 найдется номер N такой, что при всех n >= N :
|x n – a| < e/2. (1)
Если p любое натуральное число, то при всех n>=N и подавно будет:
|x n + p – a | < e/2. (2)
Так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, то из неравенств (1) и (2) мы получим при всех n >= N и для любого натурального числа p мы получим:
|x n + p – x n | = | + | <= |x n + p – a | + |x n – a| < e, Þ |x n + p – x n | < e - это и означает, что это фундаментальная последовательность.
2) Достаточность . Пусть теперь {x n } – фундаментальная последовательность. Например для e =1 существует n 1 , такой что n > n 1 и m > n 1 имеет |x n - x m | < 1.
Фиксируя m o > n 1 имеем |x n - x m o | < 1 и Þ |x n | < 1+ |x m o |
Þ |x n | <= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|x m o |} для всех nÎN, т.е. {x n } – ограничена.
Значит, по теореме Больцано - Вейерштрасса существует сходящаяся последовательность {x n k }, x n k –> a . Покажем что {x n } сходится к a .
Для данного e > 0:
"e > 0 $K(e)ÎN: "k>K(e) Þ
|x n k – a | < e;
Кроме того, в силу фундаментальности {x n }, $n e = n(e): n k ,n > n e
Þ |x n – x n k | < e/2
Положим n e = max{n e , n k (e) } и фиксируем n ko > n e . тогда при n > n e имеем:
|x n – a| <= |x n – x n ko | + |x n ko – a| < e. А это и означает, что lim x n =a #
15. Два определения предела функции в точке и их эквивалентность.
Опр.1. (по Коши). Пусть задана функция y=f(x): X à Y и точка a является предельной для множества X. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a , если для любого e > 0 можно указать такое d > 0, что для всех xÎX, удовлетворяющим неравенствам 0 < |x-a | < d, выполняется |f(x) – A | < e.
Опр.2.(по Гейне). Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a , если для любой последовательности {x n }Ì X, x n ¹a "nÎN, сходящийся к a , последовательность значений функции {f(x n)} сходится к числу A .
Теорема. Определение предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.
Доказательство. Пусть A=lim f(x) – предел функции y=f(x) по Коши
и {x n }Ì X, x n ¹a "nÎN – последовательность, сходящаяся к a , x n à a .
По данному e > 0 найдем d > 0 такое, что при 0 < |x-a | < d, xÎX имеем |f(x) – A | < e,
а по этому d найдем номер n d =n(d) такой, что при n>n d имеем 0 < |x n -a | < d.
Но тогда |f(x n) – A | < e, т.е. доказано, что f(x n)à A .
Пусть теперь число A есть теперь предел функции по Гейне, но A не является пределом по Коши. Тогда найдется e o > 0 такое, что для всех nÎN существуют x n ÎX,
0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= e o . Это означает, что найдена последовательность {x n }Ì X, x n ¹a "nÎN, x n à a такая, что
последовательность {f(x n)} не сходится к A . #
Единственность предела функции в точке. Локальная ограниченность функции, имеющий конечный предел. Локальное сохранение знака функции, имеющий нулевой предел.
Теорема 1. Если $ lim f(x) = b Î R при x à a, то этот предел единственный .
Доказательство : Пусть это не так.
lim f(x) = b 1 и lim f(x) = b 2 при x à a. b 1 ¹b 2
"{x n }Î D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (определение по Гейне)
"{x n }Î D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (определение по Гейне)
Для конкретной последовательности {x n }Ì D(f). x n ’ à a, x n ¹ a Þ
Þ f(x n ’) à b 1 и f(x n ’)à b 2. Тогда по теореме о единственности предела последовательности b 1 =b 2 . #
Опр. Функция f(x) называется локально ограниченной при x à a, если существует числа d > 0 и М > 0 такие, что при 0 < |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.
Теорема 1(о локальной ограниченности). Если функция f(x) имеет предел в точке a, то она локально ограничена при x à a.
Доказательство: Если существует lim f(x) = A при x à a, то, например, для e=1 существует d>0 такое, что при 0 < |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,
|f(x)|<|A|+1=M. #
Теорема 2(о локальном сохранении знака). Если lim f(x) = A при x à a и A¹0, то существует такое d>0, что при
0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 имеем f(x)>A/2, а при 0 < |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем
f(x) < a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| > |A|/2.
Доказательство: Возьмем e=|A|/2. Найдется d>0 такое, что при
0 < |x-a| < d, xÎX имеем
A-|A|/2 При A>0 из левого неравенства получаем f(x) > A/2, а при A<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. # Последовательность {
x n }
удовлетворяет условию Коши
, если для любого положительного действительного числа ε > 0
существует такое натуральное число N ε
,
что Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями
. Условие Коши можно представить и в другом виде. Пусть m > n
.
Если m < n
,
то поменяем n
и m
местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем: Тогда условие Коши можно сформулировать так: Последовательность удовлетворяет условию Коши
, если для любого существует такое натуральное число ,
что Число ,
фигурирующее в условии Коши, зависит от ε
.
То есть оно является функцией от действительной переменной ε
,
областью значений которой является множество натуральных чисел. Число также можно записать в виде ,
как это принято для обозначения функций. Критерий Коши сходимости последовательности Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши. Пусть последовательность сходится к конечному пределу a
:
Покажем, что последовательность удовлетворяет . Для этого нам нужно найти такую функцию ,
при которой, для любого ,
выполняются неравенства: Заменим на .
Тогда для любого имеем: Необходимость доказана. Пусть последовательность удовлетворяет . Докажем, что она сходится к конечному числу. Доказательство разделим на три части. Сначала докажем, что последовательность ограничена. Затем применим , согласно которой у ограниченной последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к конечному числу. И наконец, покажем, что к этому числу сходится вся последовательность. Докажем, что последовательность ,
удовлетворяющая , ограничена. Для этого, в условии Коши, положим .
Тогда существует такое натуральное число ,
при котором выполняются неравенства: Возьмем любое натуральное число и зафиксируем член последовательности .
Обозначим его как ,
чтобы подчеркнуть, что это постоянное, не зависящее от индекса n
число. Подставляем в (2.1.1) и выполняем преобразования. При имеем: Применим теорему Больцано – Вейерштрасса . Согласно этой теореме, у ограниченной последовательности, существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому конечному числу a
.
Обозначим такую подпоследовательность как .
Тогда Покажем, что к числу a
сходится вся последовательность. Зафиксируем n
.
Тогда (2.3.1) является неравенством, содержащим последовательность ,
у которой исключено конечное число первых членов с .
Конечное число первых членов не влияет на сходимость (см. Влияние конечного числа членов на сходимость последовательности). Поэтому предел при усеченной последовательности по прежнему равен a
.
Применяя свойства пределов, связанные с неравенствами
и арифметические свойства пределов
, при ,
из (2.3.1) имеем: То есть для любого существует натуральное число ,
так что Теорема доказана Использованная литература: КОШИ КРИТЕРИЙ
1) К. к. сходимости числовой последовательности: для того чтобы чисел (действительных или комплексных) х n , n
=1, 2, . . ., имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что для всех К. к. сходимости числовой последовательности обобщается в критерий сходимости точек полного метрич. пространства. Последовательность точек {х п }
полного метрич. пространства сходится в том и только в том случае, когда для любого существует такое N,
что для всех выполняется неравенство 2) К. к. существования предела функций n переменных Пусть f определена на множестве Xre-мерного пространства R n
и принимает числовые (действительные или комплексные) значения, а -
предельная точка множества X(или символ , в этом случае Xнеограничено). Конечный предел существует тогда и только тогда, когда для любого найдется такая U=U
(a).
точки а,
что для любых и выполняется неравенство Этот критерий обобщается на более общие отображения: пусть X -
топологич.
, а -
его предельная точка, в к-рой выполняется счетности, Y -
полное метрич. пространство и f - Xв Y.
Для того чтобы существовал предел 3) К. к. равномерной сходимости семейства функций. Пусть X -
некоторое множество, Y -
топологич. пространство, удовлетворяющее в предельной точке первой аксиоме счетности, R- полное метрич. пространство, f(x, у
).
- отображение множества Семейство отображений f(x, у
),
отображающих при фиксированном множество Xв Я, является равномерно сходящимся на Xпри если для любого существует такая окрестность U=U
(y 0
).точки y 0
, что для всех В частности, если Y -
множество натуральных чисел и 4)К. к. сходимости ряда: числовой сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер N,
что для всех и всех целых выполняется неравенство Для кратных рядов аналогичный критерий сходимости наз. критерием Коши- Штольца. Напр., для того чтобы сходился по прямоугольным частичным суммам необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое N,
что при всех и всех целых Эти критерии обобщаются на ряды в банаховых пространствах (вместо абсолютной величины берутся нормы соответствующих элементов). 5) К. к. равномерной сходимости ряда: пусть - функции, определенные на нек-ром множестве Xи принимающие числовые значения. Для того чтобы ряд равномерно сходился на множестве X,
необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N,
что для всех целых Этот критерий также переносится на кратные ряды, причем не только на числовые, но и на ряды, члены к-рых принадлежат банаховым пространствам, т. е. когда и п
(х).являются отображениями множества Xв нек-рое . 6) К. к. сходимости несобственных интегралов: пусть функция f определена на полуинтервале принимает на нем числовые значения и при любом интегрируема (по Риману или по Лебегу) на отрезке [ а, с
].
Для того чтобы сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое что для всех удовлетворяющих условию выполнялось неравенство Аналогичным образом критерий формулируется и для несобственных интегралов других типов, а также обобщается на случай, когда функция f зависит от нескольких переменных и ее значения лежат в банаховом пространстве. 7) К. к. равномерной сходимости несобственных интегралов: пусть функция f(x, у
).при каждом фиксированном где Y -
некоторое множество, определена на полуинтервале принимает числовые значения и при любом интегрируема по хна отрезке [ а, с
].
Для того чтобы равномерно сходился на множестве У, необходимо, и достаточно, чтобы для любого нашлось такое что для любых удовлетворяющих условиям и всех выполнялось неравенство Этот критерий также переносится на несобственные интегралы других типов, на случай функций многих переменных и на функции, значения к-рых лежат в банаховых пространствах. Лит.
: С а u с h у A. L., Analyse algebrique, P., 1821; Stolz O., "Math. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964; И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1971, т. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т .
1 - 2, М., 1981; 16] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975; Уиттекер Э.- Т., В а т с о н Дж. - Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963. Л. Д. Кудрявцев.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия
.
И. М. Виноградов
.
1977-1985
.
Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши) основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху … Википедия
Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость… … Википедия
Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев… … Википедия
Критерий Коши ряд утверждений в математическом анализе: Критерий сходимости последовательности (см. Фундаментальная последовательность) на котором основывается определение полного пространства. Критерий сходимости знакоположительных… … Википедия
Критерий подобия безразмерная величина, составленная из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемое физическое явление. Равенство всех однотипных критериев подобия для двух физических явлений и систем необходимое и… … Википедия
Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма… … Википедия
- (Ca) критерия подобия в механике сплошных сред, выражающий отношение кинетической энергии к энергии сжатия среды. Его используют при изучении колебаний упругих тел и течения упругих жидкостей. Число Коши выражается следующим образом: , где… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Признак Коши. Интегральный признак Коши Маклорена признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к… … Википедия
Термин «признак Коши» может относиться к одному из следующих утверждений: Радикальный признак Коши Интегральный признак Коши Маклорена Критерий Коши См. также Теорема Коши … Википедия
Здесь
предлагается рассмотреть общий признак
существования конечного предела для
последовательности
,
Определение 3.5.
Последовательность
Определение
фундаментальной последовательности
часто удобно использовать в следующем
виде.
Определение
3.6.
Последовательность
Теорема
3.13 (Критерий Коши).
Для того, чтобы последовательность
сходилась, необходимо и достаточно,
чтобы она была фундаментальной.
Доказательство.
Необходимость
.
Пусть
последовательность
Пусть
что
означает фундаментальность
последовательности.
Достаточность.
Пусть
последовательность
Разобьём
рассуждение на несколько шагов. а)
Докажем, что из фундаментальности
последовательности вытекает её
ограниченность. Рассмотрим ε
=1,
тогда найдётся такой номер n
1
,
что при всех n
,
m
≥
n
1
выполняется
неравенство
Пусть
,
а,
тогда для каждого натурального б)
Выберем натуральное n
.
Рассмотрим
множество
в)
Рассмотрим две новые последовательности.
С этой целью для каждого множества
г)
Докажем, что разность этих двух
последовательностей стремится к нулю:
при
n
≥
n
ε
. Следовательно,
д)
По доказанному в части в) последовательность
Определение
3.7.
Пусть
Если у последовательности
нет предела, то это не исключает
возможности существования предела для
какой-либо подпоследовательности. Определение
3.8.
Частичным
пределом последовательности называется
предел какой-нибудь сходящейся
подпоследовательности. Пример 3.18 .
Пусть
Теорема 3.14.
Пусть последовательность
Доказательство.
Пусть
Задача 3.14
Докажите,
что для сходимости последовательности
необходимо и достаточно, чтобы сходилась
каждая ее подпоследовательность. Задача 3.15.
Докажите,
что из условий
Задача
3.16.
Приведите
пример последовательности, которая
имеет ровно десять частичных пределов.
Задача
3.17.
Приведите
пример последовательности, для которой
каждое действительное число является
частичным пределом. Рассмотрим
вопрос о существовании частичных
пределов в случае ограниченной
последовательности. Теорема 3.15
(Больцано-Вейерштрасс).
Любая
ограниченная последовательность
содержит сходящуюся подпоследовательность. Доказательство.
В силу
ограниченности последовательности
можно указать такие числа
Далее, отрезок
Построим теперь
сходящуюся к а
подпоследовательность. В качестве
Множество всех
частичных пределов последовательности
обозначим через
у всякой ограниченной
последовательности множество
Дополнительно
отметим, что из ограниченности
последовательности по теореме о
предельном переходе в неравенствах
следует и ограниченность множества
Определение
3.9.
Пусть
Из этого определения
непосредственно не вытекает, что числа
Теорема 3.16.
Верхний и нижний пределы ограниченной
последовательности являются её частичными
пределами. Доказательство.
Покажем, что
существует такая подпоследовательность
Так
как каждое
Продолжая
рассуждения, для каждого
Построенная таким
образом подпоследовательность
и
по лемме о двух милиционерах стремится
к
Аналогично строится
подпоследовательность, сходящаяся к
Из доказанной
теоремы, в частности, вытекает, что не
существует такой последовательности,
множеством всех частичных пределов
которой является ограниченный интервал. Будем обозначать
верхний и нижний пределы последовательности
через
Теорема 3.17
.
Пусть
Доказательство.
Предположим
противное. Пусть множество номеров
Критерия Коши для сходимости последовательности вытекает самый общий критерий сходимости числового ряда.
Теорема 4 (критерий Коши). Для того чтобы числовой ряд Y1 ап сходился, необходимо и
достаточно, чтобы для любого числа е > О существовал номер N = N(e) такой, что при любом п> N неравенство
выполнялось для всех
Используя частичные суммы 5П+Р и Sn-\ рассматриваемого ряда J2 вп> неравенство (1) можно записать в виде
Из критерия Коши вытекает необходимый признак сходимости числового ряда.
Теорема 5. Если ряд
Признак сравнения для рядов с положительными членами Признак Даламбера Признак Коши Критерий Коши сходимости ряда
сходится, то
Полагая в теореме 4, получим неравенство
которое выполняется для всех В силу произвольности числа е > 0 это означает, что
Следствие. Если lim ап отличен от нуля или не существует, то ряд
Пример 1. Числовой ряд
расходится, так как
Пример 2. Ряд
расходится, так как
не существует.
Замечание. Теорема 5 дает необходимое условие сходимости ряда, но оно не является достаточным, т. е.
условие lim о„ = 0 может выполняться и для расходящегося ряда
Пример 3. Рассмотрим числовой ряд
который называется гармоническим рядом. Для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как
Воспользовавшись критерием Коши, покажем, что этот ряд расходится. Положим р-п. Тогда
Полученное неравенство выполняется для любого как угодно большого п. Отсюда следует, что для е ^ 5 и р = п неравенство (1) не выполняется. Тем самым, в силу критерия Коши гармонический ряд расходится.
Важное замечание. В известном смысле ряд является обобщением конечной суммы. Однако в отличие от последней, слагаемые в которой можно совершенно произвольно группировать и переставлять местами, отчего сумма, как известно, не меняется, действия с членами произвольного ряда нужно проводить осмотрительно - последствия могут быть не всегда предсказуемыми. Если в расходящемся ряде
(не выполнен необходимый признак сходимости) попарно сгруппировать соседние группы
то получится сходящийся ряд
Члены сходящегося ряда
(см. пример из § 8) можно переставить так, что он будет сходиться к любому числу и даже расходиться. В частности, ряд
полученный перестановкой его членов, сходится к полусумме исходного (пример из § 9). То, что в этих примерах члены ряда имеют разные знаки, существенно.
Приведем признаки, дающие возможность установить сходимость или расходимость некоторых числовых рядов путем сравнения их с другими рядами, сходимость или расходимость которых известна заранее.
Теорема 6 (признак сравнения). Пусть даны два ряда
члены которых ап и 6„ положительны. Если для всех номеров п выполняется неравенство
то из сходимости ряда Y1 6п следует сходимость ряда ап, а из расходимости ряда
Y1 On следует расходимость ряда Y1 6„.
М Составим частичные суммы рядов (1) и (2)
Из условия (3) теоремы следует, что 5П ^ Sn для всех
1) Предположим, что ряд (2) сходится, т. е. существует предел его n-х частичных сумм
Так как все члены данных рядов положительны, то, откуда в силу неравенства (3) следует, что
Таким образом, все частичные суммы 5П ряда (1) ограничены и возрастают при возрастании п, так как. Следовательно, последовательность частичных сумм
является сходящейся, что означает сходимость ряда ап При этом при переходе
к пределу в неравенстве, получим, что
В силу неравенства получим
Признак сравнения для рядов с положительными членами Признак Даламбера Признак Коши Критерий Коши сходимости ряда
т. е. ряд Ьп расходится.
Замечание. Теорема 6 остается справедливой и в случае, когда неравенство an ^ Ьп выполняется не для всех n, а начиная лишь с некоторого номера А:, т. е. для всех п ^ Jfc, так как изменение конечного числа членов ряда не нарушает его сходимости.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:
Имеем
Так как числовой ряд
сходится, то по признаку сравнения исходный ряд (также сходится.
Из неравенства следует неравенство Так как гармонический ряд
расходится (как и ряд, то по признаку сравнения исходный ряд (4) также расходится.
I. Теорема 6 остается справедливой и в случае более обшего неравенства
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
4 Используя неравенство sin х ^ х, справедливое для всех, найдем, что
для. Так как ряд
сходится, то по признаку сравнения (здесь А = у) сходится и данный ряд (5).
Следствие. Если существует конечный отличный от нуля предел
то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
м Из существования указанного выше предела вытекает, что для любого числа е > О, найдется номер N такой, что для всех п > N будет выполняться неравенство
или
Отсюда Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд
Но так как
то в силу теоремы 6 будет сходиться и ряд (1). Если же ряд (2) расходится, то расходится и ряд
(е считаем столь малым, что. Так как
n для всех
то по теореме 6 ряд (1) расходится.
Замечание. Условие леммы равносильно тому, что последовательности сц, и Lbn при эквивалентны
или, что то же
В случае I = 0 из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда (1). Обратное неверно. В случае L = +оо из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Обратное неверно.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды:
4 Сравним этот ряд с гармоническим рядом
Имеем
Так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд. Тогда
Исходный ряд сходится.
§5. Признак Даламбера
оо
Теорема 7 (признак Даламбера). Пусть дан ряд ап, где все ап > 0. Если существует
п=\
предел
то при ряд сходится, а при ряд расходится.4 Пусть существует предел
где Возьмем q такое, что. Тогда для любого числа например, для е = , найдется номер N такой, что для всех n ^ N будет выполняться неравенство
В частности, будем иметь
откуда для всех Из этого неравенства, придавая п последовательно значения N, получим
Члены ряда
не превосходят соответствующих членов ряда
который сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем По признаку сравнения ряд
сходится, а значит, сходится и исходный ряд ап-
В случае начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство, или
Следовательно, ап расходится, так как не выполнен необходи-
мый признак сходимости. Замечание. Если
или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает. Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:
Для данного ряда имеем
Признак сравнения для рядов с положительными членами Признак Даламбера Признак Коши Критерий Коши сходимости ряда
По признаку Даламбера ряд сходится.
Имеем
Данный ряд расходится.
. Признак Коши
Теорема 8 (признак Коши). Пусть дан ряд
оо
Возьмем число q такое, что. Так как существует предел
где, то, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство. В самом деле, из предельного равенства вытекает, что для любого с, в том числе и для, найдется такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство
откуда А или, что то же,
Отсюда получаем
для. Таким образом, все члены ряда, начиная, меньше соответствующих членов
оо
сходящегося ряда £ 0я- По признаку сравнения ряд
сходится, а значит сходится и ряд (1).
Пусть. Тогда, начиная с некоторого номера N для всех п > N, будет выполняться неравенство > 1, или
Следовательно,
и ряд (1) расходится.
Замечание. Если А = 1, то ряд (I) может как сходиться, так и расходиться.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:
Л Имеем
Ряд сходится. ^
м Здесь
Ряд расходится. ^
(1)
|x n - x m | < ε
при n > N ε , m > N ε
.
;
.
Здесь p
- натуральное число.
(2)
при и любых натуральных p
.
Доказательство критерия Коши сходимости последовательности
Доказательство необходимости
.
Это означает, что имеется некоторая функция ,
так что для любого выполняются неравенства:
(1.1)
при .
См. Определение предела последовательности .
при .
Воспользуемся свойствами неравенств и применим (1.1):
.
Последнее неравенство выполняется при .
при ,
где .
Доказательство достаточности
(2.1.1)
при .
;
;
;
;
.
Отсюда видно, что при ,
члены последовательности ограничены. Поскольку, при ,
имеется только конечное число членов, то и вся последовательность ограничена.
.
Поскольку последовательность удовлетворяет , то имеется некоторая функция ,
при которой для любого выполняются неравенства:
при .
В качестве возьмем член сходящейся подпоследовательности и заменим ε 1
на ε/2
:
(2.3.1)
при .
при .
Воспользуемся очевидным неравенством: .
Тогда
при .
при .
Это означает, что число a
является пределом всей последовательности (а не только ее подпоследовательности .
О.В. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
выполнялось 
необходимо и достаточно, чтобы для любого существовала окрестность U=U
(a).точки атакая, что для всех выполнялось неравенство 
и всех выполняется неравенство 
то последовательность равномерно сходится на множестве Xпри тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер N,
что для всех и всех номеров и выполняется неравенство 
выполнялось неравенство 
выполнялось неравенство 
Смотреть что такое "КОШИ КРИТЕРИЙ" в других словарях:
Книги
.
,
,
называется фундаментальной, если для
произвольного числа
найдется такой номер
,
что для всех
выполняется неравенство
.
является фундаментальной, если для
произвольного числа
найдется такой номер
,
что для всех
и любого натурального числа
выполняется неравенство
.
,
,
сходится, то есть существует
.
Выберем
.
Тогда найдется такой номер
,
что для всех
выполняется неравенство:
.
и
,
тогда
=
,
является фундаментальной. Докажем, что
она сходится. Трудность заключается в
обнаружении такого числаа
,
которое является её пределом.
.
При всехn
≥
n
1
справедливо:
.
выполнены неравенства
,
то есть
ограничена.
-
множество значений членов последовательности,
номера которых не меньше выбранногоn
.
По доказанному в а) множество X
1
ограничено.
А из очевидных вложений
следует, что каждое из этих множеств
ограничено.
обозначим:
,
.
Из приведённых в б) вложений вытекает,
что последовательность
возрастает (
),
а последовательность
убывает (
).
Поэтому
,
то есть последовательности монотонны
и ограничены и, следовательно, сходятся.
Отметим также, что при всех натуральныхn
очевидны неравенства
.
.
Воспользуемся условием фундаментальности.
Для произвольного числа
найдется такой номер
,
что для всехk
≥
n
ε
выполняются неравенства
.
Эти неравенства позволяют сделать
вывод о том, что
.
сходится, пусть
.
Так как
и,
то из неравенств
и из леммы о двух милиционерах следует,
что
.
Достаточность доказана. Теорема
доказана.
3.9. Подпоследовательности. Частичные пределы
,
,
- некоторая числовая последовательность
и пусть
,
- строго возрастающая последовательность
натуральных чисел. Тогда последовательность
вида
,
,
называется подпоследовательностью
последовательности
.
.
Эта последовательность расходится (см.
раздел 3.2), но ее подпоследовательности
и
сходятся соответственно к 1 и -1. Таким
образом, эти числа являются частичными
пределами последовательности
.
,
,
сходится к числуa
.
Тогда любая её подпоследовательность
также сходится к a
.
,
,
- подпоследовательность последовательности
,
.
Так как
строго возрастающая последовательность
натуральных чисел, то
при всех
(это легко доказать по индукции). Выберем
.
По определению сходимости
кa
для всех
будет выполнено неравенство
.Теорема
доказана.
a
и
a
вытекает,
что
a
.
,
что для любого
выполняются неравенства
.
Разделим отрезок
пополам. Тогда хотя бы в одной половине
будет содержаться бесконечное множество
членов последовательности. Это следует
из того, что последовательность состоит
из бесконечного числа членов, а половин
всего две. Выберем эту половину и
обозначим через
,
если обе таковы - то любую из них.
снова разделим пополам и выберем
половину, содержащую бесконечное
множество членов последовательности.
Обозначим ее через
.
Продолжая этот процесс, на
-ом
шаге получим отрезок
,
в котором содержится бесконечно много
членов данной последовательности.
Каждый из построенных отрезков содержится
в предыдущем. Длина отрезка
равна
,
то есть стремится к нулю с ростом
.
Применяя лемму Кантора о вложенных
отрезках, получим, что последовательности
и
стремятся к общему пределу, обозначим
его череза.
выберем
любой из членов последовательности
,
содержащихся в
.
В качестве
выберем
такой член последовательности
,
который содержится в
и номер
которого
больше
(здесь используется то, что отрезок
содержит бесконечно много членов
последовательности). Рассуждая
аналогично, на
-ом
шаге в качестве
выберем такой член последовательности
,
который содержится в
и номер
которого
больше
.
Напомним, что каждый из построенных
отрезков содержит бесконечно много
членов последовательности, что и
обуславливает возможность такого
выбора. Так как
,
а
,
то по лемме о двух милиционерах
.Теорема
доказана.
.
Доказанную теорему Больцано-Вейерштрасса
можно переформулировать так:
частичных пределов не пусто.
.
Значит, множество
имеет точные верхнюю и нижнюю грани.
,
,
- ограниченная последовательность, и
пусть
- множество всех ее частичных пределов.
Значения
,
называются соответственно нижним и
верхним пределами последовательности
.
,
принадлежат множеству
,
но, тем не менее, справедлива
,
что
.
Так как
<
,
то по определению точной верхней грани
найдется
из
,для которого
.
Далее, найдется
,
для которого
,
и вообще, для любого
найдется
,
удовлетворяющее неравенствам:
.
- частичный предел, то любая окрестность
содержит бесконечно много членов
последовательности
.
Поэтому существует номер
,
для которого
;
существует номер
,
для которого
и
.
рассмотрим
,
удовлетворяющий условиям
и
.
удовлетворяет неравенствам
.
.Теорема
доказана.
и
соответственно. В качестве одного из
характерных свойств этих величин докажем
следующую теорему.
– ограниченная последовательность,
;
.
Тогда для любого положительного числа
каждому из неравенств
и
удовлетворяет лишь конечное множество
членов последовательности.
членов последовательности, удовлетворяющих
неравенству
,
бесконечно. Расположим эти номера в
порядке строгого возрастания:
Тогда подпоследовательность
удовлетворяет неравенствам
.
По теореме Больцано-Вейерштрасса из
нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность, предел
которой больше чем
.
Ясно, что
,
а это противоречит тому, что
- верхняя грань. Полученное противоречие
доказывает теорему.
