Если траектория движения точки известна, то зависимость пути , пройденного точкой, от истекшего промежутка времени дает полное описание этого движения. Мы видели, что для равномерного движения такую зависимость можно дать в виде формулы (9.2). Связь между и для отдельных моментов времени можно задавать также в виде таблицы, содержащей соответственные значения промежутка времени и пройденного пути. Пусть нам дано, что скорость некоторого равномерного движения равна 2 м/с. Формула (9.2) имеет в этом случае вид . Составим таблицу пути и времени такого движения:

Зависимость одной величины от другой часто бывает удобно изображать не формулами или таблицами, а графиками, которые более наглядно показывают картину изменения переменных величин и могут облегчать расчеты. Построим график зависимости пройденного пути от времени для рассматриваемого движения. Для этого возьмем две взаимно перпендикулярные прямые - оси координат; одну из них (ось абсцисс) назовем осью времени, а другую (ось ординат) - осью пути. Выберем масштабы для изображения промежутков времени и пути и примем точку пересечения осей за начальный момент и за начальную точку на траектории. Нанесем на осях значения времени и пройденного пути для рассматриваемого движения (рис. 18). Для «привязки» значений пройденного пути к моментам времени проведем из соответственных точек на осях (например, точек 3 с и 6 м) перпендикуляры к осям. Точка пересечения перпендикуляров соответствует одновременно обеим величинам: пути и моменту , - этим способом и достигается «привязка». Такое же построение можно выполнить и для любых других моментов времени и соответственных путей, получая для каждой такой пары значений время - путь одну точку на графике. На рис. 18 выполнено такое построение, заменяющее обе строки таблицы одним рядом точек. Если бы такое построение было выполнено для всех моментов времени, то вместо отдельных точек получилась бы сплошная линия (также показанная на рисунке). Эта линия и называется графиком зависимости пути от времени или, короче, графиком пути.

Рис. 18. График пути равномерного движения со скоростью 2 м/с

Рис. 19. К упражнению 12.1

В нашем случае график пути оказался прямой линией. Можно показать, что график пути равномерного движения всегда есть прямая линия; и обратно: если график зависимости пути от времени есть прямая линия, то движение равномерно.

Повторяя построение для другой скорости движения, найдем, что точки графика для большей скорости лежат выше, чем соответственные точки графика для меньшей скорости (рис. 20). Таким образом, чем больше скорость равномерного движения, тем круче прямолинейный график пути, т. е. тем больший угол он составляет с осью времени.

Рис. 20. Графики пути равномерных движений со скоростями 2 и 3 м/с

Рис. 21. График того же движения, что на рис. 18, вычерченный в другом масштабе

Наклон графика зависит, конечно, не только от числового значения скорости, но и от выбора масштабов времени и длины. Например, график, изображенный на рис. 21, дает зависимость пути от времени для того же движения, что и график рис. 18, хотя и имеет другой наклон. Отсюда ясно, что сравнивать движения по наклону графиков можно только в том случае, если они вычерчены в одном и том же масштабе.

С помощью графиков пути можно легко решать разные задачи о движении. Для примера на рис. 18 штриховыми линиями показаны построения, необходимые для того, чтобы решить следующие задачи для данного движения: а) найти путь, пройденный за время 3,5 с; б) найти время, за которое пройден путь 9 м. На рисунке графическим путем (штриховые линии) найдены ответы: а) 7 м; б) 4,5 с.

На графиках, описывающих равномерное прямолинейное движение, можно откладывать по оси ординат вместо пути координату движущейся точки. Такое описание открывает большие возможности. В частности, оно позволяет различать направление движения по отношению к оси . Кроме того, приняв начало отсчета времени за нуль, можно показать движение точки в более ранние моменты времени, которые следует считать отрицательными.

Рис. 22. Графики движений с одной и той же скоростью, но при различных начальных положениях движущейся точки

Рис. 23. Графики нескольких движений с отрицательными скоростями

Например, на рис. 22 прямая I есть график движения, происходящего с положительной скоростью 4 м/с (т. е. в направлении оси ), причем в начальный момент движущаяся точка находилась в точке с координатой м. Для сравнения на том же рисунке дан график движения, которое происходит с той же скоростью, но при котором в начальный момент движущаяся точка находится в точке с координатой (прямая II). Прямая. III соответствует случаю, когда в момент движущаяся точка находилась в точке с координатой м. Наконец, прямая IV описывает движение в случае, когда движущаяся точка имела координату в момент с.

Мы видим, что наклоны всех четырех графиков одинаковы: наклон зависит только от скорости движущейся точки, а не от ее начального положения. При изменении начального положения весь график просто переносится параллельно самому себе вдоль оси вверх или вниз на соответственное расстояние.

Графики движений, происходящих с отрицательными скоростями (т. е. в направлении, противоположном направлению оси ), показаны на рис. 23. Они представляют собой прямые, наклоненные вниз. Для таких движений координата точки с течением времени уменьшается., имела координаты

Графики пути можно строить и для случаев, в которых тело движется равномерно в течение определенного промежутка времени, затем движется равномерно, но с другой скоростью в течение другого промежутка времени, затем снова меняет скорость и т. д. Например, на рис. 26 показан график движения, в котором тело двигалось в течение первого часа со скоростью 20 км/ч, в течение второго часа - со скоростью 40 км/ч и в течение третьего часа - со скоростью 15 км/ч.

Задание: 12.8. Постройте график пути для движения, в котором за последовательные часовые промежутки тело имело скорости 10, -5, 0, 2, -7 км/ч. Чему равно суммарное перемещение тела?

Зависимость координаты от времени для равномерного движения имеет вид: . Как выше уже отмечалось, это линейная зависимость. Графиком такой зависимости является прямая

На рисунке представлены некоторые характерные графики зависимости координаты от времени для равномерного движения. Точка пересечения прямой с осью х соответствует начальной координате х0. Наклон прямой определяется проекцией скорости на ось Х. Если vx > 0, то прямая идет вверх, а если vx < 0, то вниз. Угол наклона прямой определяется величиной проекции скорости. А именно, если угол наклона прямой к оси времени равен б, то.

Значение работ Циолковского для космонавтики

Движение тела, возникающее вследствие отделения от него части его массы с некоторой скоростью, называют реактивным. Все виды движения, кроме реактивного, невозможны без наличия внешних для данной системы сил, т. е. без взаимодействия тел данной системы с окружающей средой, а для осуществления реактивного движения не требуется взаимодействия тела с окружающей средой. Первоначально система покоится, т. е. ее полный импульс равен нулю. Когда из системы начинает выбрасываться с некоторой скоростью часть ее массы, то (так как полный импульс замкнутой системы по закону сохранения импульса должен оставаться неизменным) система получает скорость, направленную в противо-положную сторону. Действительно, так как m1v1+m2v2=0, то m1v1=-m2v2, т. е.

Из этой формулы следует, что скорость v2, получаемая системой с массой m2, зависит от выброшенной массы m1 и скорости v1 ее выбрасывания.

Тепловой двигатель, в котором сила тяги, возникающая за счет реакции струи вылетающих раскаленных газов, приложена непосредственно к его корпусу, называют реактивным. В отличие от других транспортных средств устройство с реактивным двигателем может двигаться в космическом пространстве.

Основоположником теории космических полетов является выдающийся русский ученый Циолковский (1857 - 1935). Он дал общие основы теории реактивного движения, разработал основные принципы и схемы реактивных летательных аппаратов, доказал необходимость использования многоступенчатой ракеты для межпланетных полетов. Идеи Циолковского успешно осуществлены в СССР при постройке искусственных спутников Земли и космических кораблей.

Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в окружающем мире и могут иметь самую различную природу. Это могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний.

Свободными, или собственными колебаниями, называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе, после того как она была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити

Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний - гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия); - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний. Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постоянная ц представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.

Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний. Косинус - периодическая функция с периодом 2р, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2р, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.

Период гармонических колебаний равен: T = 2р/.

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний н.

Частота гармонических колебаний равна: н = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду.

Круговая частота = 2р/T = 2рн дает число колебаний за 2р секунд.

Период колебаний - это время, за которое совершается одно колебание. Период колебаний измеряется в единицах времени - секундах, минутах и т. д.

Частота колебаний - это число колебаний, совершаемых за 1 с. Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894).

Если частота колебаний равна 1 Гц, то это означает, что за каждую секунду совершается одно колебание. Если же, например, частота v = 50 Гц, то это означает, что за каждую секунду совершается 50 колебаний.

Для периода Т и частоты v колебаний справедливы те же формулы, что и для периода и частоты обращения, которые рассматривались при изучении равномерного движения по окружности.

1. Чтобы найти период колебаний, надо время t, за которое совершено несколько колебаний, разделить на число п этих колебаний:

2. Чтобы найти частоту колебаний, надо число колебаний разделить на время, в течение которого они произошли:

При подсчете числа колебаний на практике следует четко понимать, что представляет собой одно (полное) колебание. Если, например, маятник начинает двигаться из положения 1 (см. рис. 30), то одним колебанием является такое его движение, когда он, пройдя положение равновесия 0, а затем крайнее положение 2, возвращается через положение равновесия 0 снова в положение 1.

Сравнивая формулы (17.1) и (17.2), мы видим, что период и частота колебаний - величины взаимно обратные, т. е.

Период математического маятника -- период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается

Для математического маятника выполняются некоторые законы:

• 1 закон. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы (например 5кг и 100 кг), то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.
• 2 закон. Если маятник отклонять на разные, но маленькие углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока амплитуда маятника будут малы, колебания и по своей форме будут похожи на гармонические, и тогда период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство приняло название изохронизмом.

Резонамнс -- явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты внешнего воздействия с некоторыми значениями (резонансными частотами), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды -- это лишь следствие резонанса, а причина -- совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс -- явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность. Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн.

Единица массы. Свойство тела сохранять свою скорость неизменной, т. е. сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии внешних воздействий на это тело или их взаимной компенсации, называется его инертностью. Инертность тел приводит к тому, что мгновенно изменить скорость тела невозможно - действие на него другого тела должно длиться определенное время. Чем инертнее тело, тем меньше изменяется его скорость за данное время, т. е. тем меньшее ускорение получает это тело.

Количественную меру инертности тела называют его массой. Чем более инертно тело, тем больше его масса.

Наблюдения показывают, что для любых двух взаимодействующих между собой тел независимо от способа их взаимодействия отношение модулей ускорений, полученных телами в результате этого взаимодействия, всегда получается одинаковым. Следовательно, это отношение зависит от инертных свойств взаимодействующих тел, т. е. от их масс.

Как отмечалось выше, чем больше масса тела, тем меньшее ускорение получает данное тело при взаимодействии тел между собой. Поэтому можно предположить, что отношение модулей ускорений, получаемых телами при взаимодействии между собой, равно величине, обратной отношению масс этих тел, т. е. a1/a2=m2/m1. Из (2.1) следует, что m2=m1a1/a2. Последняя формула дает способ измерения масс тел. Из нее видно, что, для того чтобы суметь определить массу какого-либо тела, прежде всего необходимо выбрать тело, массу которого mэ, следует принять за единицу массы.

Силы упругости. При деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.

Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела. Природа упругих сил электрическая.

Мы рассмотрим случай возникновения сил упругости при одностороннем растяжении и сжатии твердого тела.

Закон Гука. Связь между силой упругости и упругой деформацией тела (при малых деформациях) была экспериментально установлена современником Ньютона английским физиком Гуком. Математическое выражение закона Гука для деформации одностороннего растяжения (сжатия) имеет вид

где f - сила упругости; х - удлинение (деформация) тела; k - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и материала тела, называемый жесткостью. Единица жесткости в СИ - ньютон на метр (Н/м).

Свободное падение тел. Ускорение свободного падения

B11 . По графикам зависимости координаты тел от времени (рис. 1) определите для каждого тела:

а) начальную координату;

б) координату через 4 с;

в) проекцию скорости;

г) уравнение координаты (уравнение движения);

д) когда координата будет равна 20 м?

Решение

а) Определите для каждого тела начальную координату.

Графический способ . По графику находим значения координат точек пересечения графиков с осью 0х (на рис. 2 а эти точки выделены):

x 01 = 30 м; x 02 = 10 м; x 03 = –10 м.

б) Определите для каждого тела координату через 4 с.

Графический способ . По графику находим значения координат точек пересечения графиков с перпендикуляром, проведенным к оси 0t в точке t = 4 с (на рис. 2 б эти точки выделены): x 1 (4 с) = 0; x 2 (4 с) = 10 м; x 3 (4 с) ≈ 20 м.

Аналитический способ . Составьте уравнение движения и по нему определить значение координаты при t = 4 с (см. пункт г).

в) Определите для каждого тела проекцию скорости.

Графический способ . Проекция скорости \(~\upsilon_x = \tan \alpha = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2-t_1}\) , где α – угол наклона графика к оси 0t ; Δt = t 2 – t 1 – произвольный промежуток времени; Δυ = υ 2 – υ 1 – промежуток скоростей, соответствующий промежутку времени Δt = t 2 – t 1 .

Для графика 1: пусть t 2 = 4 с, t 1 = 0, тогда x 2 = 0, x 1 = 30 м и υ 1x = (0 - 30 м)/(4 с - 0) = –7,5 м/с (рис. 3 а).

Для графика 2: пусть t 2 = 6 с, t 1 = 0, тогда x 2 = 10 м, x 1 = 10 м и υ 2x = (10 м - 10 м)/(6 с - 0) = 0 (рис. 3 б).

Для графика 3: пусть t 2 = 5 с, t 1 = 0, тогда x 2 = 30 м, x 1 = –10 м и υ 3x = (30 - (-10 м))/(5 с - 0) = 8 м/с (рис. 3 в).

Аналитический способ . Запишем уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении в общем виде x = x 0 + υ x ·t . Используя значения начальной координаты (см. пункт а) и координаты при t = 4 с (см. пункт б), найдем значение проекции скорости\[~\upsilon_x = \frac{x - x_0}{t}\] .

г) Определите для каждого тела уравнение координаты.

Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении в общем виде "x = x 0 + υ x · t.

Для графика 1: т.к. x 01 = 30 м, υ 1x = –7,5 м/с, то x 1 = 30 – 7,5t . Проверим пункт б: x 1 (4 с) = 30 – 7,5·4 = 0, что соответствует ответу.

Для графика 2: т.к. x 02 = 10 м, υ 2x = 0, то x 2 = 10. Проверим пункт б: x 2 (4 с) = 10 (м), что соответствует ответу.

Для графика 3: т.к. x 03 = –10 м, υ 3x = 8 м/с, то x 3 = –10 + 8t . Проверим пункт б: x 3 (4 с) = –10 + 8·4 = 22 (м), что соответствует приблизительно ответу.

д) Определите, когда координата тела будет равна 20 м?

Графический способ . По графику находим значения времени точек пересечения графиков с перпендикуляром, проведенном к оси 0x в точке x = 20 м (на рис. 4 эти точки выделены): t 1 (20 м) ≈ 1,5 с; t 3 (20 м) ≈ 3,5 с.

График 2 параллелен перпендикуляру, следовательно, координата тела 2 никогда не будет равной 20 м.

Аналитический способ . Записать уравнение координаты для каждого тела и найти при каком значении времени t, координата станет равной 20 м.

Как по графику зависимости координаты

от времени х = х (t ) построить график

зависимости пути от времени s = s (t )?

Отметим следующие особенности графика s = s (t ):

1) график s = s (t ) всегда начинается из начала координат, так как в начальный момент пройденный путь всегда равен нулю;

2) график s = s (t ) всегда не убывает: он либо возрастает, если тело движется, либо не меняется, если тело стоит;

3) функция s = s (t ) нe может принимать отрицательное значение.

Из сказанного следует, что график х = х (t ) совпадает с графиком s = s (t ) только в том случае, если х (0) = 0 и x (t ) все время не убывает, т.е. тело движется только в положительном направлении либо стоит на месте.

Приведем несколько примеров построения графиков s = s (t ) по данным графикам х = х (t ).

Пример 4.2. По графику х = = х (t ) на рис. 4.4,а построить график s = s (t ).

График х = х (t ) возрастает, но начинается не в начале координат, а в точке (0, х 0). Для того чтобы получить график s = s (t ) необходимо опустить график х = х (t ) на x 0 вниз (рис. 4.4,б ).

Пример 4.3. По графику х = х (t ) на рис. 4.5,а построить график s = s (t ).

В данном случае х (0) = 0, но тело движется в отрицательном направлении оси х . В данном случае справедливо s (t ) = |x (t )|, и для построения графика s = s (t ) достаточно отобразить график х = х (t ) зеркально на верхнюю полуплоскость (рис. 4.5,б ).

Рис. 4.5

Пример 4.4. По графику х = х (t ) на рис. 4.6,а построить график s = s (t ).

Сначала опустим график х = х (t ) на х 0 вниз, чтобы х (0) = 0, как мы это делали в примере 4.2, а затем прямую 2 (рис. 4.6,б ) зеркально отобразим на верхнюю полуплоскость, как мы это сделали в примере 4.3.

Рис. 4.6

Пример 4.5. По графику х = х (t ) на рис. 4.7,а построить график s = s (t ).

Рис. 4.7

График х = х (t ) состоит из двух участков: на первом участке х (t ) воз­растает, а на втором участке – убывает, т.е. тело движется в отрицательном направлении оси х . Поэтому для построения графика s = s (t ) первую часть графика х = х (t ) мы оставляем без изменения, а вторую часть зеркально отражаем относительно прямой, проходящей через точку поворота (2t, 2х 0) параллельно оси t (рис. 4.7,б).

СТОП! Решите самостоятельно: С2 (а, б, в).

Утверждение. Пусть дан график зави­симости υ х (t ), х (t 1) = x 0 (рис. 4.8). Значения площадей над графиком s + и под гра­фиком s – , выраженные с учетом масшта­бов в единицах длины, известны. Тогда путь, пройденный за промежуток времени [t 1 , t 2 ], равен:

s = s – + s + . (4.2)

Координата в момент времени t 2 равна:

х (t 2) = x 0 – s – + s + . (4.3)

Задача 4.2 . По графику зави­симости координаты от времени (рис. 4.9,а ) построить графики зависимостей υ х = υ х (t ) и υ = υ (t ).

Решение . Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке Dх = = 1 м, Dt = 1 с, отсюда = 1 м/с, υ = = |υ х | = 1 м/с.

Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке Dх = 0, значит, υ х = υ = 0.

Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке Dх = (–2) – 1 = = –3 м, Dt = 1 с, значит, = –3 м/с, υ = |υ х | = 3 м/с.

Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке Dх = 0, следовательно, υ х = υ = 0.

Графики приведены на рис. 4.9,б и 4.9,в .

СТОП! Решите самостоятельно: В3 (а,б,в).

Задача 4.3 . По графику зависимости υ х = υ х (t ) (рис. 4.10) найти значения пройденного пути и координаты в моменты времени 1c, 2 с, 3 с, 4 с, 5 с, если х (0) = 2,0 м.

Решение.

1. Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке υ х (t ) убывала от 1 м/с до 0, т.е. тело двигалось вдоль оси х замедленно и в момент t = 1 с остановилось. Пройденный путь равен площади под графиком на участке : м. Координата в момент t = 1 с равна х (1) = х (0) + s 01 = 2,0 м + 0,5 м = 2,5 м.

2. Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке υ х уменьшалась от 0 до –1 м/с, т.е. тело разгонялось из состояния покоя в направлении, противоположном направлению оси х . Путь, пройденный за этот промежуток вре­мени, равен площади над графиком υ х = υ х (t ) на промежутке : м. Следовательно, общий путь, пройденный телом в момент t = 2 с, равен s (2) = s (1) + s 12 = 0,5 м + 0,5 м = 1,0 м. Координата в момент t = 1 с равна х (2) = х (1) – s 12 = 2,5 м – 0,5 м = 2,0 м.

3. Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке тело движется равномерно в отрицательном направлении оси х с путевой скоростью υ = 1 м/с. Пройденный путь равен s 23 = (1 м/с)´ ´(1 с) = 1,0 м. Следовательно, путь, пройденный к моменту t = 3 с, равен s (3) = s (2) + s 23 = 1,0 м + 1,0 м = 2,0 м.

Координата же за этот промежуток времени уменьшалась на величину пройденного пути, так как тело двигалось в обратную сторону: х (3) = х (2) – s 23 = 2,0 м – 1,0 м = 1,0 м.